Номер 8, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите
угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями измеряется линейным углом, который является углом между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки.

В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ плоскости $ABB_1$ (содержащая грань $ABB_1A_1$) и $AEE_1$ (содержащая сечение $AEE_1A_1$) пересекаются по общему ребру $AA_1$.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Следовательно, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Это означает, что $AA_1$ перпендикулярно любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$.

В плоскости $ABB_1$ проведем прямую $AB$ через точку $A$. Так как $AB$ лежит в плоскости основания, то $AB \perp AA_1$.

В плоскости $AEE_1$ проведем прямую $AE$ через точку $A$. Так как $AE$ также лежит в плоскости основания, то $AE \perp AA_1$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $ABB_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AB$ и $AE$, то есть $\angle BAE$. Этот угол находится в плоскости основания призмы.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Чтобы найти величину угла $\angle BAE$, разобьем его на части. Пусть $O$ — центр шестиугольника. Правильный шестиугольник состоит из шести равных равносторонних треугольников с общей вершиной $O$.

Треугольник $\triangle OAB$ является равносторонним, так как $OA = OB$ как радиусы описанной окружности, а центральный угол $\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Значит, все углы в $\triangle OAB$ равны $60^\circ$. В частности, $\angle OAB = 60^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle OAE$. Стороны $OA$ и $OE$ равны как радиусы. Центральный угол $\angle AOE$ можно найти как сумму центральных углов, опирающихся на стороны $AF$ и $FE$: $\angle AOE = \angle AOF + \angle FOE = 60^\circ + 60^\circ = 120^\circ$.

Треугольник $\triangle OAE$ является равнобедренным с углом при вершине $120^\circ$. Углы при основании $AE$ равны: $\angle OAE = \angle OEA = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Искомый угол $\angle BAE$ является суммой углов $\angle OAB$ и $\angle OAE$.

$\angle BAE = \angle OAB + \angle OAE = 60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.