Номер 9, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

9. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Необходимо найти угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$.

Плоскость $ACC_1$ определяется точками $A$, $C$, $C_1$. Поскольку призма является прямой, боковое ребро $CC_1$ параллельно ребру $AA_1$. Таким образом, плоскость $ACC_1$ совпадает с плоскостью прямоугольника $ACC_1A_1$.

Аналогично, плоскость $AEE_1$ определяется точками $A$, $E$, $E_1$. Ребро $EE_1$ параллельно ребру $AA_1$, поэтому плоскость $AEE_1$ совпадает с плоскостью прямоугольника $AEE_1A_1$.

Обе эти плоскости, $ACC_1A_1$ и $AEE_1A_1$, проходят через общее боковое ребро $AA_1$. Следовательно, прямая $AA_1$ является линией их пересечения.

Угол между двумя пересекающимися плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и перпендикулярными их линии пересечения, проведенными из одной точки на этой линии.

Поскольку призма правильная, ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $AA_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.

Рассмотрим прямую $AC$. Она лежит в плоскости основания $ABCDEF$ и, следовательно, перпендикулярна ребру $AA_1$ в точке $A$. Прямая $AC$ также лежит в плоскости $ACC_1$.

Рассмотрим прямую $AE$. Она также лежит в плоскости основания $ABCDEF$ и перпендикулярна ребру $AA_1$ в той же точке $A$. Прямая $AE$ лежит в плоскости $AEE_1$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$ равен углу между прямыми $AC$ и $AE$ в плоскости основания. Этот угол — $\angle CAE$.

Найдем величину угла $\angle CAE$. Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^{\circ}$. Пусть сторона шестиугольника равна $a$.

В треугольнике $ABC$ стороны $AB = BC = a$. Следовательно, $\triangle ABC$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle ABC = 120^{\circ}$. Углы при основании $AC$ равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.

Аналогично, в треугольнике $AFE$ стороны $AF = FE = a$. $\triangle AFE$ — равнобедренный. Угол при вершине $\angle AFE = 120^{\circ}$. Углы при основании $AE$ равны: $\angle FAE = \angle FEA = (180^{\circ} - 120^{\circ}) / 2 = 30^{\circ}$.

Угол при вершине $A$ шестиугольника $ABCDEF$ равен $\angle FAB = 120^{\circ}$. Этот угол складывается из трех углов: $\angle FAB = \angle FAE + \angle CAE + \angle BAC$.

Выразим искомый угол $\angle CAE$: $\angle CAE = \angle FAB - \angle FAE - \angle BAC$.

Подставим найденные значения: $\angle CAE = 120^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ}$.

Итак, угол между плоскостями $ACC_1$ и $AEE_1$ равен $60^{\circ}$.

Ответ: $60^{\circ}$.