Номер 6, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между двумя плоскостями. Обобщающее повторение - номер 6, страница 123.

Условия.

6. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$ найдите угол между плоскостями $SAD$ и $SBE$.

Решение.

Решение 2.

Рассмотрим правильную шестиугольную пирамиду $SABCDEF$. Необходимо найти угол между плоскостями $(SAD)$ и $(SBE)$.

Сначала найдем линию пересечения этих двух плоскостей. Обе плоскости проходят через вершину пирамиды $S$, значит, точка $S$ принадлежит линии их пересечения. В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть $O$ — его центр. Большие диагонали шестиугольника $AD$, $BE$ и $CF$ пересекаются в точке $O$. Поскольку прямая $AD$ лежит в плоскости $(SAD)$, а прямая $BE$ — в плоскости $(SBE)$, их точка пересечения $O$ принадлежит обеим плоскостям. Таким образом, линия пересечения плоскостей $(SAD)$ и $(SBE)$ — это прямая $SO$.

Угол между двумя плоскостями определяется как угол между двумя прямыми, проведенными в этих плоскостях перпендикулярно к их линии пересечения из одной точки. Поскольку пирамида $SABCDEF$ — правильная, ее высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $(ABCDEF)$. Следовательно, прямая $SO$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости основания.

Прямая $AD$ лежит в плоскости $(SAD)$ и одновременно в плоскости основания, значит, $AD \perp SO$. Аналогично, прямая $BE$ лежит в плоскости $(SBE)$ и одновременно в плоскости основания, значит, $BE \perp SO$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $(SAD)$ и $(SBE)$ равен углу между прямыми $AD$ и $BE$. Эти прямые пересекаются в точке $O$.

Чтобы найти этот угол, рассмотрим основание пирамиды. Правильный шестиугольник $ABCDEF$ можно разбить на шесть равносторонних треугольников с общей вершиной в центре $O$. Одним из них является треугольник $\triangle AOB$. Угол при вершине $O$ в этом треугольнике равен $\angle AOB = \frac{360^\circ}{6} = 60^\circ$. Этот угол и является углом между прямыми $AD$ и $BE$.

Таким образом, искомый угол между плоскостями равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.