Номер 10, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между двумя плоскостями. Обобщающее повторение - номер 10, страница 123.

Условия.

10. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите угол между плоскостями $AFF_1$ и $BCC_1$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения угла между плоскостями $(AFF_1)$ и $(BCC_1)$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ рассмотрим её основание и свойства.

Поскольку призма правильная, её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра ($AA_1$, $BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований. Плоскости $(AFF_1)$ и $(BCC_1)$ являются боковыми гранями призмы. Так как боковые рёбра перпендикулярны основанию, то и плоскости боковых граней перпендикулярны плоскости основания $(ABCDEF)$.

Угол между двумя плоскостями, которые перпендикулярны третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $(AFF_1)$ с плоскостью основания $(ABCDEF)$ является прямая $AF$.

Линией пересечения плоскости $(BCC_1)$ с плоскостью основания $(ABCDEF)$ является прямая $BC$.

Следовательно, искомый угол между плоскостями $(AFF_1)$ и $(BCC_1)$ равен углу между прямыми $AF$ и $BC$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Внутренний угол правильного шестиугольника составляет $ \frac{(6-2) \times 180^\circ}{6} = 120^\circ $. Таким образом, $ \angle FAB = 120^\circ $ и $ \angle ABC = 120^\circ $.

Чтобы найти угол между прямыми $AF$ и $BC$, продлим содержащие их отрезки $FA$ и $CB$ до пересечения в точке $M$. Образуется треугольник $MAB$. Угол $ \angle AMB $ и будет являться углом между данными прямыми.

Угол $ \angle MAB $ является внешним к углу $ \angle FAB $ при вершине $A$ шестиугольника, поэтому $ \angle MAB = 180^\circ - \angle FAB = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Аналогично, угол $ \angle MBA $ является внешним к углу $ \angle ABC $ при вершине $B$, поэтому $ \angle MBA = 180^\circ - \angle ABC = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ $.

Поскольку два угла в треугольнике $MAB$ равны $60^\circ$, то и третий угол $ \angle AMB $ также равен $ 180^\circ - (60^\circ + 60^\circ) = 60^\circ $.

Таким образом, угол между прямыми $AF$ и $BC$ равен $60^\circ$, а значит и угол между плоскостями $(AFF_1)$ и $(BCC_1)$ равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.