Номер 13, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDE_1$.

Для нахождения угла между плоскостями $ABC$ и $BDE_1$ воспользуемся методом линейного угла двугранного угла. Угол между двумя плоскостями равен углу между двумя перпендикулярами к линии их пересечения, проведенными в этих плоскостях из одной точки.

1. Линией пересечения плоскости основания $ABC$ и секущей плоскости $BDE_1$ является прямая $BD$, так как обе точки $B$ и $D$ принадлежат обеим плоскостям.

2. Чтобы построить линейный угол, выберем на линии пересечения $BD$ точку и проведем из нее два перпендикуляра к $BD$ в каждой из плоскостей. Удобно выбрать точку $D$.

3. Найдем прямую в плоскости основания $ABC$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную к $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BDE$, лежащий в плоскости основания. В основании призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Найдем длины сторон треугольника $BDE$:

• $DE = 1$, так как это сторона шестиугольника.
• $BD$ — малая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина вычисляется по формуле $a\sqrt{3}$, где $a$ — сторона. Таким образом, $BD = 1 \cdot \sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина равна $2a$. Таким образом, $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Проверим, является ли треугольник $BDE$ прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора:$BD^2 + DE^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.$BE^2 = 2^2 = 4$.Поскольку $BD^2 + DE^2 = BE^2$, треугольник $BDE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Следовательно, прямая $DE$ перпендикулярна прямой $BD$ ($DE \perp BD$), и при этом $DE$ лежит в плоскости $ABC$.

4. Теперь найдем прямую в плоскости $BDE_1$, проходящую через точку $D$ и перпендикулярную к $BD$. Для этого рассмотрим треугольник $BDE_1$. Найдем длины его сторон:

• $BD = \sqrt{3}$ (из предыдущего шага).
• $DE_1$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $DEE_1$. Призма правильная, поэтому боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно основанию. Катеты $DE=1$ (сторона основания) и $EE_1=1$ (все ребра призмы равны 1). По теореме Пифагора: $DE_1^2 = DE^2 + EE_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$, откуда $DE_1 = \sqrt{2}$.
• $BE_1$ — это гипотенуза в прямоугольном треугольнике $BEE_1$. Катеты $BE=2$ и $EE_1=1$. По теореме Пифагора: $BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 5$, откуда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Проверим, является ли треугольник $BDE_1$ прямоугольным:$BD^2 + DE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$.$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$.Поскольку $BD^2 + DE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $BDE_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $D$. Следовательно, прямая $DE_1$ перпендикулярна прямой $BD$ ($DE_1 \perp BD$), и $DE_1$ лежит в плоскости $BDE_1$.

5. Мы нашли два перпендикуляра к общей прямой $BD$, проведенные из одной точки $D$: $DE$ в плоскости $ABC$ и $DE_1$ в плоскости $BDE_1$. Следовательно, искомый угол между плоскостями равен углу между этими прямыми, то есть $\angle EDE_1$.Рассмотрим треугольник $EDE_1$. Он является прямоугольным, так как ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и прямой $DE$, лежащей в этой плоскости ($\angle E_1ED = 90^\circ$). Катеты этого треугольника равны: $DE = 1$ и $EE_1 = 1$.Таким образом, $\triangle EDE_1$ — равнобедренный прямоугольный треугольник, и его острые углы равны $45^\circ$.Угол $\angle EDE_1$ является одним из этих острых углов.Можно также вычислить через тангенс:$\tan(\angle EDE_1) = \frac{EE_1}{DE} = \frac{1}{1} = 1$.Отсюда $\angle EDE_1 = \arctan(1) = 45^\circ$.

Ответ: 45°.