Номер 14, страница 124 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

ра которой равна 1, найдите угол между плоскостями $ABC$ и $BDD_1$;

14. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

угол между плоскостями $ACC_1$ и $BFF_1$.

15. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$ найдите

Пусть $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная шестиугольная призма. Это означает, что её основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ являются правильными шестиугольниками, а боковые рёбра (такие как $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Требуется найти угол между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BFF_1)$.

Плоскость $(ACC_1)$ определяется точками $A, C, C_1$. Так как ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то и вся плоскость $(ACC_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Аналогично, плоскость $(BFF_1)$ определяется точками $B, F, F_1$. Так как ребро $FF_1$ перпендикулярно плоскости основания $(ABC)$, то и вся плоскость $(BFF_1)$ перпендикулярна плоскости основания $(ABC)$.

Угол между двумя плоскостями, которые перпендикулярны третьей плоскости, равен углу между их линиями пересечения с этой третьей плоскостью.

Линией пересечения плоскости $(ACC_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $AC$.
Линией пересечения плоскости $(BFF_1)$ с плоскостью основания $(ABC)$ является прямая $BF$.

Таким образом, задача сводится к нахождению угла между диагоналями $AC$ и $BF$ правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим основание — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Пусть длина стороны шестиугольника равна $a$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. В нём $AB = BC = a$ (как стороны правильного шестиугольника), а угол $\angle ABC = 120^\circ$. Следовательно, треугольник $\triangle ABC$ является равнобедренным. Углы при его основании $AC$ равны:
$\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Теперь рассмотрим треугольник $\triangle FAB$. В нём $FA = AB = a$, а угол $\angle FAB = 120^\circ$. Этот треугольник также является равнобедренным. Углы при его основании $BF$ равны:
$\angle ABF = \angle AFB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Пусть диагонали $AC$ и $BF$ пересекаются в точке $P$. Рассмотрим треугольник $\triangle APB$. В этом треугольнике нам известны два угла:
$\angle PAB = \angle CAB = 30^\circ$
$\angle PBA = \angle FBA = 30^\circ$

Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, поэтому третий угол $\angle APB$ равен:
$\angle APB = 180^\circ - (\angle PAB + \angle PBA) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 180^\circ - 60^\circ = 120^\circ$.

Угол $\angle APB = 120^\circ$ является одним из углов, образованных при пересечении прямых $AC$ и $BF$. По определению, угол между прямыми — это наименьший (острый) из углов, образованных при их пересечении. Смежный с $\angle APB$ угол равен $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BF$, а значит и между плоскостями $(ACC_1)$ и $(BFF_1)$, равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.