Номер 11, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

11. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ найдите
угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$,

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной шестиугольной. Это означает, что ее основания $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильные шестиугольники, а боковые ребра (такие как $AA_1, BB_1$ и т.д.) перпендикулярны плоскостям оснований.

Требуется найти угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$. Плоскость $AFF_1$ проходит через точки $A, F, F_1$ и также содержит ребро $AA_1$, так как в призме $AA_1 \parallel FF_1$. Таким образом, плоскость $AFF_1$ — это плоскость боковой грани $AFF_1A_1$. Аналогично, плоскость $DEE_1$ — это плоскость боковой грани $DEE_1D_1$.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол. Его можно измерить как линейный угол, который образуется при пересечении этих двух плоскостей третьей плоскостью, перпендикулярной их линии пересечения. В нашем случае боковые грани $AFF_1A_1$ и $DEE_1D_1$ обе перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$. Это значит, что искомый угол между плоскостями $AFF_1A_1$ и $DEE_1D_1$ будет равен углу между их линиями пересечения с плоскостью основания $ABCDEF$.

Линией пересечения плоскости $AFF_1A_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ является прямая $AF$.

Линией пересечения плоскости $DEE_1D_1$ с плоскостью основания $ABCDEF$ является прямая $DE$.

Следовательно, задача сводится к нахождению угла между прямыми $AF$ и $DE$ в плоскости правильного шестиугольника $ABCDEF$.

Рассмотрим свойства правильного шестиугольника $ABCDEF$. В нем противолежащие стороны попарно параллельны. В частности, сторона $DE$ параллельна стороне $AB$. Значит, угол между прямыми $AF$ и $DE$ равен углу между прямыми $AF$ и $AB$.

Угол между смежными сторонами $AF$ и $AB$ в вершине $A$ — это внутренний угол правильного шестиугольника. Величина внутреннего угла правильного $n$-угольника вычисляется по формуле: $ \alpha = \frac{(n-2) \cdot 180^\circ}{n} $. Для шестиугольника ($n=6$) получаем:

$ \angle FAB = \frac{(6-2) \cdot 180^\circ}{6} = \frac{4 \cdot 180^\circ}{6} = 4 \cdot 30^\circ = 120^\circ $.

По определению, угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. Прямые $AF$ и $AB$ пересекаются в точке $A$ и образуют два смежных угла: один равен $120^\circ$, а другой $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Наименьший из этих углов равен $60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AF$ и $DE$ равен $60^\circ$, и, следовательно, угол между плоскостями $AFF_1$ и $DEE_1$ также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.