Номер 31, страница 123 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$.

Для решения задачи найдем угол между прямой $AD$ и нормалью к плоскости $BEE_1$. Угол $\theta$ между прямой и плоскостью связан с углом $\alpha$ между прямой и вектором нормали к плоскости соотношением $\theta = 90^\circ - \alpha$.

1. Найдем направление нормали к плоскости $BEE_1$.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1$ — правильная, следовательно, она прямая. Это означает, что боковые ребра, в частности $EE_1$, перпендикулярны плоскости основания $ABCDEF$.

Плоскость $BEE_1$ содержит ребро $EE_1$. Вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BEE_1$ должен быть перпендикулярен всем прямым в этой плоскости, включая $EE_1$. Так как $EE_1$ перпендикулярен всей плоскости основания, то вектор нормали $\vec{n}$ должен быть параллелен плоскости основания $ABCDEF$.

Кроме того, вектор нормали $\vec{n}$ должен быть перпендикулярен прямой $BE$, которая лежит и в плоскости $BEE_1$, и в плоскости основания. Таким образом, нам нужно найти в плоскости основания $ABCDEF$ прямую, перпендикулярную диагонали $BE$.

В правильном шестиугольнике большая диагональ (например, $BE$) перпендикулярна малой диагонали, с которой она не имеет общих вершин (например, $AC$). Докажем это. Введем систему координат с центром в центре шестиугольника $O$ и осью $Ox$, проходящей через вершину $A$. Так как все ребра призмы равны 1, сторона шестиугольника $a=1$. Координаты вершин в плоскости основания ($z=0$):

$A(1, 0)$, $B(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ)) = (1/2, \sqrt{3}/2)$, $C(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ)) = (-1/2, \sqrt{3}/2)$, $E(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ)) = (-1/2, -\sqrt{3}/2)$.

Найдем векторы $\vec{AC}$ и $\vec{BE}$:

$\vec{AC} = C - A = (-1/2 - 1, \sqrt{3}/2 - 0) = (-3/2, \sqrt{3}/2)$

$\vec{BE} = E - B = (-1/2 - 1/2, -\sqrt{3}/2 - \sqrt{3}/2) = (-1, -\sqrt{3})$

Найдем их скалярное произведение:

$\vec{AC} \cdot \vec{BE} = (-3/2) \cdot (-1) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}) = 3/2 - 3/2 = 0$.

Так как скалярное произведение равно нулю, векторы перпендикулярны, то есть $AC \perp BE$. Следовательно, направление нормали $\vec{n}$ к плоскости $BEE_1$ параллельно прямой $AC$.

2. Найдем угол между прямой $AD$ и нормалью (прямой $AC$).

Угол $\alpha$ между прямой $AD$ и нормалью к плоскости $BEE_1$ равен углу между прямыми $AD$ и $AC$, то есть $\angle CAD$.

Рассмотрим треугольник $ACD$ в плоскости основания. Найдем длины его сторон:

• $CD = 1$ (сторона шестиугольника).
• $AC$ — малая диагональ правильного шестиугольника, ее длина $AC = a\sqrt{3} = \sqrt{3}$.
• $AD$ — большая диагональ правильного шестиугольника, ее длина $AD = 2a = 2$.

Применим теорему косинусов для треугольника $ACD$ для нахождения угла $\angle CAD$:

$CD^2 = AC^2 + AD^2 - 2 \cdot AC \cdot AD \cdot \cos(\angle CAD)$

$1^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle CAD)$

$1 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cos(\angle CAD)$

$1 = 7 - 4\sqrt{3} \cos(\angle CAD)$

$4\sqrt{3} \cos(\angle CAD) = 6$

$\cos(\angle CAD) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Отсюда, угол $\alpha = \angle CAD = \arccos(\frac{\sqrt{3}}{2}) = 30^\circ$.

3. Найдем искомый угол.

Искомый угол $\theta$ между прямой $AD$ и плоскостью $BEE_1$ равен $90^\circ - \alpha$.

$\theta = 90^\circ - 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.