Номер 26, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

26. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$.

Обозначим искомый угол между прямой $AB$ и плоскостью $BDD_1$ как $\alpha$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Рассмотрим правильную шестиугольную призму $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В основании лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. Так как все рёбра призмы равны 1, то сторона основания $AB = 1$ и боковое ребро $DD_1 = 1$.

Чтобы найти угол $\alpha$, мы докажем, что прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $BD$ и $DD_1$.

1. Докажем, что $AB \perp BD$.
Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Найдём длины диагоналей $BD$ и $AD$, которые являются сторонами треугольника $ABD$.
В правильном шестиугольнике все внутренние углы равны $120^\circ$. В треугольнике $BCD$ стороны $BC=1$, $CD=1$, а угол $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов найдём длину стороны $BD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.
Отсюда $BD = \sqrt{3}$.
Диагональ $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника, и её длина равна удвоенной стороне шестиугольника: $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь рассмотрим треугольник $ABD$ со сторонами $AB=1$, $BD=\sqrt{3}$ и $AD=2$. Проверим для него обратную теорему Пифагора:
$AB^2 + BD^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.
$AD^2 = 2^2 = 4$.
Поскольку $AB^2 + BD^2 = AD^2$, треугольник $ABD$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $B$, то есть $\angle ABD = 90^\circ$. Это означает, что прямые $AB$ и $BD$ перпендикулярны: $AB \perp BD$.

2. Докажем, что $AB \perp DD_1$.
Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, следовательно, она является прямой призмой. Это означает, что её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$.
Прямая $AB$ целиком лежит в плоскости основания $ABCDEF$.
По определению перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $DD_1$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $ABCDEF$, включая прямую $AB$. Таким образом, $AB \perp DD_1$.

3. Заключение.
Прямые $BD$ и $DD_1$ лежат в плоскости $BDD_1$ и пересекаются в точке $D$. Мы установили, что прямая $AB$ перпендикулярна каждой из этих двух прямых ($AB \perp BD$ и $AB \perp DD_1$).
Следовательно, по признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AB$ перпендикулярна плоскости $BDD_1$.
Угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, по определению равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.