Номер 24, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BD$ и плоскостью $BCC_1$.

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на эту плоскость. Обозначим искомый угол за $\alpha$.
Прямая $BD$ пересекает плоскость $BCC_1$ в точке $B$. Для нахождения проекции прямой $BD$ на плоскость $BCC_1$ нужно найти проекцию точки $D$ на эту плоскость. Пусть $H$ — проекция точки $D$ на плоскость $BCC_1$. Тогда прямая $BH$ является проекцией прямой $BD$ на плоскость $BCC_1$, а искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle DBH$.
Так как $DH$ является перпендикуляром к плоскости $BCC_1$, то $DH$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости, включая прямую $BH$. Следовательно, треугольник $DBH$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $H$.

Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, она является прямой, и её основания — правильные шестиугольники. Это означает, что плоскость основания $ABCDEF$ перпендикулярна плоскости боковой грани $BCC_1$. Точка $D$ лежит в плоскости основания. Перпендикуляр $DH$, опущенный из точки $D$ на плоскость $BCC_1$, должен лежать в плоскости основания $ABCDEF$ и быть перпендикулярным линии пересечения этих плоскостей, то есть прямой $BC$. Таким образом, точка $H$ является основанием перпендикуляра, опущенного из точки $D$ на прямую $BC$ в плоскости основания $ABCDEF$.

Для нахождения угла $\alpha$ в прямоугольном треугольнике $DBH$ нам нужно найти длины двух его сторон. Найдем длины катета $DH$ и гипотенузы $BD$.

1. Найдем длину диагонали $BD$.
Рассмотрим треугольник $BCD$ в плоскости основания. Стороны $BC$ и $CD$ являются сторонами правильного шестиугольника, поэтому $BC = CD = 1$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Значит, $\angle BCD = 120^\circ$.
Применим теорему косинусов для треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Следовательно, $BD = \sqrt{3}$.

2. Найдем длину перпендикуляра $DH$.
Как мы установили, $H$ — это основание перпендикуляра из точки $D$ на прямую $BC$. Поскольку угол $\angle BCD = 120^\circ$ является тупым, точка $H$ будет лежать на продолжении отрезка $BC$ за точкой $C$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $DCH$. Угол $\angle DCH$ смежный с углом $\angle BCD$, поэтому $\angle DCH = 180^\circ - \angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.
В прямоугольном треугольнике $DCH$ гипотенуза $CD=1$. Катет $DH$ противолежит углу $60^\circ$, значит:
$DH = CD \cdot \sin(\angle DCH) = 1 \cdot \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

3. Найдем искомый угол.
В прямоугольном треугольнике $DBH$ мы знаем гипотенузу $BD = \sqrt{3}$ и катет $DH = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Синус угла $\alpha = \angle DBH$ равен отношению противолежащего катета к гипотенузе:
$\sin(\alpha) = \frac{DH}{BD} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.
Поскольку угол между прямой и плоскостью является острым, находим угол $\alpha$:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.