Номер 17, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

17. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, боковые ребра равны 2, $SH$ — высота, найдите тангенс угла между прямой $SH$ и плоскостью $SBC$.

Пусть $SABCDEF$ – данная правильная шестиугольная пирамида. Основанием является правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной $AB=1$. Боковые ребра равны 2, например $SC=2$. $SH$ – высота пирамиды, где $H$ – центр шестиугольника $ABCDEF$.

Угол между прямой и плоскостью – это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Нам нужно найти тангенс угла между прямой $SH$ и плоскостью боковой грани $SBC$.

Для нахождения проекции прямой $SH$ на плоскость $SBC$ выполним следующие построения. Пусть $M$ – середина стороны основания $BC$.

Так как пирамида правильная, то боковая грань $\triangle SBC$ – равнобедренный треугольник ($SB=SC=2$), и его медиана $SM$ является также высотой, то есть $SM \perp BC$.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник. Точка $H$ – его центр. Расстояние от центра до любой вершины равно стороне шестиугольника, поэтому $HB=HC=1$. Так как сторона основания $BC=1$, то треугольник $\triangle HBC$ является равносторонним. Его медиана $HM$ также является высотой, то есть $HM \perp BC$.

Поскольку прямая $BC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым $SM$ и $HM$ в плоскости $SMH$, то прямая $BC$ перпендикулярна всей плоскости $SMH$.

Плоскость боковой грани $SBC$ проходит через прямую $BC$, которая перпендикулярна плоскости $SMH$. Следовательно, плоскость $SBC$ перпендикулярна плоскости $SMH$.

Линия пересечения этих двух взаимно перпендикулярных плоскостей – прямая $SM$. Проекция прямой $SH$, лежащей в плоскости $SMH$, на плоскость $SBC$ будет лежать на линии их пересечения, то есть на прямой $SM$. Таким образом, проекцией прямой $SH$ на плоскость $SBC$ является прямая $SM$.

Искомый угол $\alpha$ между прямой $SH$ и плоскостью $SBC$ – это угол между прямой $SH$ и её проекцией $SM$, то есть $\alpha = \angle HSM$.

Рассмотрим треугольник $SMH$. $SH$ – высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости. $HM$ лежит в плоскости основания, следовательно, $SH \perp HM$. Таким образом, $\triangle SMH$ – прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $H$.

Найдем длины катетов $\triangle SMH$:

1. Катет $HM$. Как мы установили, $\triangle HBC$ – равносторонний со стороной 1. $HM$ – его высота. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ равна $\frac{a\sqrt{3}}{2}$. Значит, $HM = \frac{1 \cdot \sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2. Катет $SH$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle SHC$ (так как $SH$ – высота). Гипотенуза $SC=2$ (боковое ребро), катет $HC=1$ (радиус описанной окружности правильного шестиугольника равен его стороне). По теореме Пифагора:$SH^2 = SC^2 - HC^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$.Отсюда $SH = \sqrt{3}$.

Теперь мы можем найти тангенс искомого угла $\alpha = \angle HSM$ в прямоугольном треугольнике $\triangle SMH$:$\text{tg}(\alpha) = \text{tg}(\angle HSM) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{HM}{SH}$.

$\text{tg}(\alpha) = \frac{\sqrt{3}/2}{\sqrt{3}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$