Номер 16, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямой и плоскостью. Обобщающее повторение - номер 16, страница 121.

Условия.

16. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$.

Решение.

Решение 2.

Пусть $SABCD$ — заданная правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит квадрат $ABCD$, а вершина $S$ проецируется в центр основания. По условию, все ребра пирамиды равны 1. Это значит, что стороны основания $AB, BC, CD, DA$ равны 1, и боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1.

Нам необходимо найти угол между прямой $AB$ и плоскостью $SBD$. По определению, угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию прямой $AB$ на плоскость $SBD$.

Точка $B$ принадлежит как прямой $AB$, так и плоскости $SBD$. Следовательно, проекцией точки $B$ на плоскость $SBD$ является сама точка $B$.

Теперь найдем проекцию точки $A$ на плоскость $SBD$. Для этого нужно опустить перпендикуляр из точки $A$ на эту плоскость. Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$ (точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$). В правильной пирамиде отрезок $SO$ является ее высотой, следовательно, $SO$ перпендикулярен плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим прямую $AC$ и плоскость $SBD$.
1. В квадрате $ABCD$ диагонали взаимно перпендикулярны, то есть $AC \perp BD$.
2. Поскольку $SO$ — высота пирамиды, $SO$ перпендикулярен всей плоскости основания $ABCD$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $SO \perp AC$.
3. Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $SO$), которые лежат в плоскости $SBD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна всей плоскости $SBD$.

Так как прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$ и проходит через точку $A$, то отрезок $AO$ является перпендикуляром, опущенным из точки $A$ на плоскость $SBD$ (поскольку точка $O$ лежит на прямой $BD$, а значит, и в плоскости $SBD$). Следовательно, точка $O$ является проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$.

Таким образом, проекцией прямой $AB$ на плоскость $SBD$ является прямая $OB$. Искомый угол — это угол между прямой $AB$ и её проекцией $OB$, то есть угол $\angle ABO$.

Рассмотрим треугольник $ABO$. Этот треугольник лежит в плоскости основания $ABCD$. В квадрате $ABCD$ диагональ $BD$ является биссектрисой угла $\angle ABC$. Поскольку угол квадрата $\angle ABC = 90^\circ$, то угол $\angle ABO = \frac{1}{2}\angle ABC = \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.