Номер 11, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямой и плоскостью. Обобщающее повторение - номер 11, страница 121.

Условия.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью $AB_1D_1$.

12. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ най

Решение.

Решение 2.

Решение

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Поместим начало координат в вершину A куба. Направим ось Ox вдоль ребра AD, ось Oy вдоль ребра AB, и ось Oz вдоль ребра AA₁.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Тогда координаты вершин, необходимых для решения, будут следующими:

A(0, 0, 0)
C(a, a, 0)
A₁(0, 0, a)
B₁(0, a, a)
D₁(a, 0, a)

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Обозначим этот угол как $\alpha$. Его можно найти через угол $\gamma$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости по формуле: $\sin(\alpha) = |\cos(\gamma)|$.

Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ для прямой CA₁:

$\vec{s} = \vec{CA_1} = A_1 - C = (0 - a, 0 - a, a - 0) = (-a, -a, a)$.

Теперь найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости AB₁D₁. Плоскость проходит через три точки: A(0, 0, 0), B₁(0, a, a) и D₁(a, 0, a). Вектор нормали можно найти как векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{AB_1}$ и $\vec{AD_1}$.

$\vec{AB_1} = B_1 - A = (0, a, a)$.

$\vec{AD_1} = D_1 - A = (a, 0, a)$.

Вычислим векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{AB_1} \times \vec{AD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & a \\ a & 0 & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - a \cdot 0) - \mathbf{j}(0 \cdot a - a \cdot a) + \mathbf{k}(0 \cdot 0 - a \cdot a) = a^2\mathbf{i} + a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k} = (a^2, a^2, -a^2)$.

Сравним направляющий вектор прямой CA₁, $\vec{s} = (-a, -a, a)$, и вектор нормали к плоскости AB₁D₁, $\vec{n} = (a^2, a^2, -a^2)$.

Заметим, что $\vec{n} = -a \cdot \vec{s}$. Это означает, что направляющий вектор прямой CA₁ коллинеарен вектору нормали к плоскости AB₁D₁. Следовательно, прямая CA₁ перпендикулярна плоскости AB₁D₁.

Угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^{\circ}$.

Также мы можем проверить это с помощью формулы. Для этого можно использовать упрощенные векторы, коллинеарные исходным: $\vec{s'} = (1, 1, -1)$ (поделив $\vec{s}$ на $-a$) и $\vec{n'} = (1, 1, -1)$ (поделив $\vec{n}$ на $a^2$). Найдем косинус угла $\gamma$ между векторами $\vec{s'}$ и $\vec{n'}$:

$\cos(\gamma) = \frac{\vec{s'} \cdot \vec{n'}}{|\vec{s'}| \cdot |\vec{n'}|} = \frac{1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1)}{\sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 1^2 + (-1)^2}} = \frac{1+1+1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{3}{3} = 1$.

Если $\cos(\gamma) = 1$, то угол $\gamma = 0^{\circ}$. Это подтверждает, что векторы сонаправлены (или, в общем случае, коллинеарны, если бы косинус был -1).

Теперь найдем искомый угол $\alpha$:

$\sin(\alpha) = |\cos(\gamma)| = |1| = 1$.

Если $\sin(\alpha) = 1$, то угол $\alpha = 90^{\circ}$.

Ответ: $90^{\circ}$.