Номер 4, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

4. В кубе $ABC D A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ найдите угол между прямой $A D_{1}$ и плоскостью $B C D_{1}$.

5. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найдите

4. Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$ (вершина нижнего основания). Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Примем длину ребра куба равной $a$.

В этой системе координат вершины, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:

$A(a, 0, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{s}$ прямой $AD_1$:

$\vec{s} = \vec{AD_1} = (0-a, 0-0, a-0) = (-a, 0, a)$.

Для нахождения угла между прямой и плоскостью нам понадобится вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$. Вектор нормали можно найти как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости, например, векторов $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.

Найдем координаты этих векторов:

$\vec{CB} = (a-0, a-a, 0-0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{CD_1} = (0-0, 0-a, a-0) = (0, -a, a)$.

Теперь вычислим их векторное произведение, чтобы найти вектор нормали $\vec{n}$:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & a \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \vec{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \vec{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = 0\vec{i} - a^2\vec{j} - a^2\vec{k}$.

Таким образом, $\vec{n} = (0, -a^2, -a^2)$. В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный ему вектор. Для упрощения расчетов возьмем вектор $\vec{n'} = (0, 1, 1)$, который получается делением координат вектора $\vec{n}$ на $-a^2$.

Угол $\alpha$ между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n'}$ находится по формуле:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{s}| \cdot |\vec{n'}|}$.

Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s} = (-a, 0, a)$ и $\vec{n'} = (0, 1, 1)$:

$\vec{s} \cdot \vec{n'} = (-a) \cdot 0 + 0 \cdot 1 + a \cdot 1 = a$.

Вычислим длины (модули) этих векторов:

$|\vec{s}| = \sqrt{(-a)^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$|\vec{n'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{1+1} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для синуса угла:

$\sin\alpha = \frac{|a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Искомый угол $\alpha$ равен арксинусу этого значения:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.