Номер 3, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

3. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $DA_1$ и плоскостью $BCD_1$.

4. В кубе $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ найдите угол между прямой $AD_1$ и плоскостью

3. Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$ и осями $Ox$, $Oy$, $Oz$, направленными вдоль ребер $DA$, $DC$ и $DD_1$ соответственно. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты необходимых для решения вершин будут следующими:

$D(0, 0, 0)$, $A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $A_1(a, 0, a)$, $B(a, a, 0)$.

Направляющим вектором прямой $DA_1$ является вектор $\vec{v} = \vec{DA_1}$. Его координаты равны разности координат точек $A_1$ и $D$:

$\vec{v} = (a - 0, 0 - 0, a - 0) = (a, 0, a)$.

Для нахождения вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$ найдем сначала два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$:

$\vec{CB} = (a - 0, a - a, 0 - 0) = (a, 0, 0)$.

$\vec{CD_1} = (0 - 0, 0 - a, a - 0) = (0, -a, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен этим векторам, поэтому его можно найти как их векторное произведение:

$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = (0, -a^2, -a^2)$.

В качестве вектора нормали можно взять любой коллинеарный вектор. Для упрощения разделим полученный вектор на $-a^2$ (где $a \ne 0$) и получим $\vec{n'} = (0, 1, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью определяется через синус угла между направляющим вектором прямой $\vec{v}$ и вектором нормали плоскости $\vec{n'}$ по формуле:

$\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n'}|}{||\vec{v}|| \cdot ||\vec{n'}||}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{v} \cdot \vec{n'} = (a, 0, a) \cdot (0, 1, 1) = a \cdot 0 + 0 \cdot 1 + a \cdot 1 = a$.

Вычислим длины (модули) векторов:

$||\vec{v}|| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

$||\vec{n'}|| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для синуса угла:

$\sin\alpha = \frac{|a|}{a\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{a}{2a} = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол между прямой и плоскостью по определению является острым (от $0^\circ$ до $90^\circ$), искомый угол $\alpha$ равен:

$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.