Номер 44, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямыми. Обобщающее повторение - номер 44, страница 120.

Условия.

44. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите косинус угла между прямыми $SA$ и $BC$.

Решение.

Решение 2.

Для нахождения косинуса угла между скрещивающимися прямыми SA и BC воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат, расположив центр O правильного шестиугольника ABCDEF, лежащего в основании пирамиды, в начале координат (0, 0, 0). Пусть основание находится в плоскости Oxy, а вершина пирамиды S — на оси Oz.

Поскольку в основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1, его вершины лежат на окружности радиусом R = 1. Найдем координаты необходимых нам вершин:

• A = (1, 0, 0)
• B = ($1 \cdot \cos(60^\circ)$, $1 \cdot \sin(60^\circ)$, 0) = ($\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0)
• C = ($1 \cdot \cos(120^\circ)$, $1 \cdot \sin(120^\circ)$, 0) = ($-\frac{1}{2}$, $\frac{\sqrt{3}}{2}$, 0)

Вершина S имеет координаты (0, 0, h). Найдем высоту пирамиды h, зная, что длина бокового ребра SA равна 2. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$SA^2 = (x_A - x_S)^2 + (y_A - y_S)^2 + (z_A - z_S)^2$

$2^2 = (1 - 0)^2 + (0 - 0)^2 + (0 - h)^2$

$4 = 1 + h^2$

$h^2 = 3$, откуда $h = \sqrt{3}$ (так как высота — положительная величина). Таким образом, координаты вершины S: (0, 0, $\sqrt{3}$).

Теперь найдем направляющие векторы для прямых SA и BC.

Вектор $\vec{SA}$ имеет координаты, равные разности координат точек A и S:

$\vec{SA} = (1 - 0, 0 - 0, 0 - \sqrt{3}) = (1, 0, -\sqrt{3})$

Вектор $\vec{BC}$ имеет координаты, равные разности координат точек C и B:

$\vec{BC} = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 0) = (-1, 0, 0)$

Косинус угла $\alpha$ между векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BC}$ вычисляется по формуле:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BC}}{|\vec{SA}| \cdot |\vec{BC}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{SA} \cdot \vec{BC} = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + (-\sqrt{3}) \cdot 0 = -1$

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{SA}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-\sqrt{3})^2} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2$

$|\vec{BC}| = \sqrt{(-1)^2 + 0^2 + 0^2} = \sqrt{1} = 1$

Подставим найденные значения в формулу для косинуса угла между векторами:

$\cos(\alpha) = \frac{-1}{2 \cdot 1} = -\frac{1}{2}$

Угол между прямыми по определению является острым или прямым, его величина лежит в пределах от 0 до 90 градусов. Поэтому косинус угла между прямыми не может быть отрицательным. Он равен модулю косинуса угла между их направляющими векторами. Пусть $\phi$ — искомый угол между прямыми SA и BC. Тогда:

$\cos(\phi) = |\cos(\alpha)| = |-\frac{1}{2}| = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$