Номер 46, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

46. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны $1$, а боковые ребра равны $2$, найдите угол между прямыми $SA$ и $BF$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $BF$ воспользуемся методом координат.

1. Введение системы координат.

Пусть центр основания правильного шестиугольника $ABCDEF$ находится в начале координат $O(0, 0, 0)$. Поскольку пирамида правильная, ее высота $SO$ будет лежать на оси $Oz$. Основание пирамиды будет лежать в плоскости $Oxy$.

В правильном шестиугольнике со стороной 1 расстояние от центра до любой вершины также равно 1. Разместим вершины в плоскости $Oxy$ следующим образом:

Пусть вершина $A$ лежит на положительной части оси $Ox$. Тогда ее координаты $A(1, 0, 0)$.

Остальные вершины получаются поворотом на углы, кратные $60^\circ$:

$B(1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) \Rightarrow B(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

$F(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) \Rightarrow F(\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$

2. Нахождение координат вершины S.

Вершина $S$ имеет координаты $S(0, 0, h)$, где $h=SO$ – высота пирамиды. Найдем $h$ из прямоугольного треугольника $SOA$ (где $\angle SOA = 90^\circ$). Катет $OA$ равен 1 (радиус описанной окружности шестиугольника), а гипотенуза $SA$ равна 2 (длина бокового ребра по условию).

По теореме Пифагора: $SO^2 + OA^2 = SA^2$

$h^2 + 1^2 = 2^2$

$h^2 + 1 = 4$

$h^2 = 3 \Rightarrow h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S(0, 0, \sqrt{3})$.

3. Нахождение векторов прямых.

Найдем направляющие векторы для прямых $SA$ и $BF$.

Для прямой $SA$ вектор $\vec{SA}$:

$\vec{SA} = \{A_x - S_x; A_y - S_y; A_z - S_z\} = \{1 - 0; 0 - 0; 0 - \sqrt{3}\} = \{1; 0; -\sqrt{3}\}$

Для прямой $BF$ вектор $\vec{BF}$:

$\vec{BF} = \{F_x - B_x; F_y - B_y; F_z - B_z\} = \{\frac{1}{2} - \frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}; 0 - 0\} = \{0; -\sqrt{3}; 0\}$

4. Нахождение угла между векторами.

Угол $\alpha$ между прямыми $SA$ и $BF$ найдем как угол между их направляющими векторами $\vec{SA}$ и $\vec{BF}$ через скалярное произведение:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{SA} \cdot \vec{BF}}{|\vec{SA}| \cdot |\vec{BF}|}$

Найдем скалярное произведение векторов:

$\vec{SA} \cdot \vec{BF} = (1 \cdot 0) + (0 \cdot (-\sqrt{3})) + (-\sqrt{3} \cdot 0) = 0 + 0 + 0 = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны, и угол между ними равен $90^\circ$.

$\cos(\alpha) = 0 \Rightarrow \alpha = 90^\circ$

Альтернативное геометрическое решение:

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Прямая $SA$ является наклонной к плоскости основания $ABC$. Прямая $SO$ — перпендикуляр к плоскости основания, а $OA$ — проекция наклонной $SA$ на эту плоскость.

Рассмотрим расположение прямых $OA$ и $BF$ в плоскости основания. В правильном шестиугольнике диагональ $AD$ (на которой лежит отрезок $OA$) является осью симметрии. Хорда $BF$ перпендикулярна этой оси симметрии. Следовательно, $OA \perp BF$.

По теореме о трех перпендикулярах: если прямая в плоскости (в нашем случае $BF$) перпендикулярна проекции наклонной на эту плоскость (т.е. $OA$), то она перпендикулярна и самой наклонной (т.е. $SA$).

Таким образом, $SA \perp BF$, и угол между ними составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.