Номер 41, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямыми. Обобщающее повторение - номер 41, страница 120.

Условия.

41. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Решение.

Решение 2.

1. Сведение задачи к планиметрической

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BF_1$ и $CC_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. В правильной шестиугольной призме все боковые ребра параллельны друг другу. В частности, прямая $CC_1$ параллельна прямой $BB_1$, то есть $CC_1 \parallel BB_1$.

Следовательно, искомый угол между скрещивающимися прямыми $BF_1$ и $CC_1$ равен углу между пересекающимися в точке $B$ прямыми $BF_1$ и $BB_1$. Обозначим этот угол как $\alpha = \angle F_1BB_1$.

2. Рассмотрение треугольника и вычисление его сторон

Угол $\angle F_1BB_1$ является углом в треугольнике $\triangle F_1BB_1$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ правильная, её боковые рёбра перпендикулярны плоскостям оснований. Это значит, что ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ и любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, $BB_1 \perp B_1F_1$.

Таким образом, треугольник $\triangle F_1BB_1$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $B_1$.

Найдём длины катетов этого треугольника. По условию, все рёбра призмы равны 1.

Катет $BB_1$ является боковым ребром, поэтому его длина $BB_1 = 1$.

Катет $B_1F_1$ является диагональю в основании — правильном шестиугольнике $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной 1. Эта диагональ соединяет вершины через одну, то есть является малой диагональю шестиугольника. Её длину можно вычислить по теореме косинусов для треугольника $\triangle A_1B_1F_1$. В этом треугольнике стороны $A_1B_1 = A_1F_1 = 1$, а угол между ними $\angle F_1A_1B_1$ как внутренний угол правильного шестиугольника равен $120^\circ$.

$B_1F_1^2 = A_1B_1^2 + A_1F_1^2 - 2 \cdot A_1B_1 \cdot A_1F_1 \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.

Следовательно, длина катета $B_1F_1 = \sqrt{3}$.

3. Нахождение искомого угла

Теперь в прямоугольном треугольнике $\triangle F_1BB_1$ известны оба катета: $BB_1 = 1$ и $B_1F_1 = \sqrt{3}$. Мы можем найти тангенс угла $\angle F_1BB_1$:

$\operatorname{tg}(\angle F_1BB_1) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{B_1F_1}{BB_1} = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\sqrt{3}$, это $60^\circ$.

Итак, $\angle F_1BB_1 = 60^\circ$, что и является углом между прямыми $BF_1$ и $CC_1$.

Ответ: $60^\circ$.