Номер 47, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

47. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, найдите угол между прямыми $SA$ и $CE$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $SA$ и $CE$ воспользуемся координатно-векторным методом. Введем прямоугольную систему координат с началом в центре основания пирамиды, точке $O$. Ось $Oz$ направим вдоль высоты пирамиды $SO$, а плоскость $Oxy$ совместим с плоскостью основания $ABCDEF$.

Поскольку основание — правильный шестиугольник со стороной 1, его вершины лежат на окружности с центром в точке $O$ и радиусом $R=1$ (в правильном шестиугольнике радиус описанной окружности равен его стороне). Расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$. Тогда ее координаты $A(1; 0; 0)$.

Для нахождения координат вершин $C$ и $E$ учтем, что центральные углы в правильном шестиугольнике равны $360^\circ / 6 = 60^\circ$.

Координаты вершины $C$ определяются углом $\angle AOC = 120^\circ$. Таким образом, $C$ имеет координаты $(1 \cdot \cos(120^\circ); 1 \cdot \sin(120^\circ); 0)$, что равно $(-\frac{1}{2}; \frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Координаты вершины $E$ определяются углом $\angle AOE = 240^\circ$. Таким образом, $E$ имеет координаты $(1 \cdot \cos(240^\circ); 1 \cdot \sin(240^\circ); 0)$, что равно $(-\frac{1}{2}; -\frac{\sqrt{3}}{2}; 0)$.

Вершина пирамиды $S$ лежит на оси $Oz$, поэтому ее координаты $S(0; 0; h)$. Найдем высоту пирамиды $h=SO$ из прямоугольного треугольника $SOA$. Катет $OA$ равен радиусу описанной окружности, т.е. $OA=1$. Гипотенуза $SA$ — это боковое ребро, по условию $SA=2$. По теореме Пифагора:

$SO^2 = SA^2 - OA^2$

$h^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3$

$h = \sqrt{3}$

Таким образом, координаты вершины $S(0; 0; \sqrt{3})$.

Теперь найдем координаты векторов $\vec{SA}$ и $\vec{CE}$, которые являются направляющими векторами для соответствующих прямых:

$\vec{SA} = \{A_x - S_x; A_y - S_y; A_z - S_z\} = \{1-0; 0-0; 0-\sqrt{3}\} = \{1; 0; -\sqrt{3}\}$

$\vec{CE} = \{E_x - C_x; E_y - C_y; E_z - C_z\} = \{-\frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}); -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}; 0-0\} = \{0; -\sqrt{3}; 0\}$

Угол $\alpha$ между прямыми $SA$ и $CE$ равен углу между их направляющими векторами $\vec{SA}$ и $\vec{CE}$. Косинус этого угла можно найти по формуле скалярного произведения векторов:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{SA} \cdot \vec{CE}|}{|\vec{SA}| \cdot |\vec{CE}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов:

$\vec{SA} \cdot \vec{CE} = (1)(0) + (0)(-\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(0) = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, векторы перпендикулярны (ортогональны). Это означает, что угол между ними равен $90^\circ$. Нет необходимости вычислять длины векторов, так как числитель дроби равен нулю.

Ответ: $90^\circ$.