Номер 42, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

42. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$.

Для решения задачи воспользуемся координатным методом. Введем прямоугольную систему координат. Пусть центр нижнего основания призмы, правильного шестиугольника $ABCDEF$, находится в начале координат, точке $O(0, 0, 0)$, а высота призмы направлена вдоль оси $Oz$. В условии сказано, что все ребра призмы равны 1. Это означает, что сторона основания равна 1 и высота призмы (длина боковых ребер) также равна 1.

Найдем координаты вершин правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1, лежащего в плоскости $Oxy$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно длине его стороны, то есть 1. Для удобства расположим вершину $A$ на положительной части оси $Ox$.

Координаты необходимых вершин нижнего основания:
$A = (1, 0, 0)$
Поскольку шестиугольник правильный, угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ составляет $60^\circ$. Тогда координаты точки $B$:
$B = (1 \cdot \cos(60^\circ), 1 \cdot \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OE}$ составляет $240^\circ$ (или $-120^\circ$). Тогда координаты точки $E$:
$E = (1 \cdot \cos(240^\circ), 1 \cdot \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ находятся на высоте $z=1$. Их координаты получаются смещением соответствующих вершин нижнего основания на вектор $(0, 0, 1)$.
Координаты нужных нам вершин верхнего основания:
$A_1 = (1, 0, 1)$
$B_1 = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$

Теперь найдем координаты направляющих векторов для прямых $BA_1$ и $B_1E$.
Для прямой $BA_1$ возьмем вектор $\vec{BA_1}$:
$\vec{BA_1} = A_1 - B = (1 - \frac{1}{2}, 0 - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.
Для прямой $B_1E$ возьмем вектор $\vec{B_1E}$:
$\vec{B_1E} = E - B_1 = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 0 - 1) = (-1, -\sqrt{3}, -1)$.

Угол $\varphi$ между скрещивающимися прямыми равен углу между их направляющими векторами. Найдем этот угол через скалярное произведение векторов.
$\cos \varphi = \frac{\vec{BA_1} \cdot \vec{B_1E}}{|\vec{BA_1}| \cdot |\vec{B_1E}|}$
Вычислим скалярное произведение в числителе:
$\vec{BA_1} \cdot \vec{B_1E} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (-\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + (1) \cdot (-1) = -\frac{1}{2} + \frac{3}{2} - 1 = \frac{2}{2} - 1 = 1 - 1 = 0$.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны. Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $B_1E$ составляет $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$