Номер 39, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

39. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $AC_1 D_1$.

Для нахождения искомого угла $AC_1D_1$ рассмотрим треугольник $AC_1D_1$. Чтобы найти величину этого угла, определим длины всех трех сторон треугольника, а затем воспользуемся теоремой косинусов.

Сторона $C_1D_1$ является ребром верхнего основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1, следовательно, $C_1D_1 = 1$.

Чтобы найти длину стороны $AC_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$. Он является прямоугольным, так как призма правильная, а значит боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина бокового ребра $CC_1 = 1$. Длину катета $AC$, который является малой диагональю основания, найдем из правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$, то есть $\angle ABC = 120^\circ$. По теореме косинусов для треугольника $ABC$ имеем:$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $AC = \sqrt{3}$.Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ACC_1$ находим гипотенузу $AC_1$:$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$.Таким образом, $AC_1 = \sqrt{4} = 2$.

Чтобы найти длину стороны $AD_1$, рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$. Длина бокового ребра $DD_1 = 1$. Катет $AD$ является большой диагональю основания. В правильном шестиугольнике со стороной $a$ большая диагональ равна $2a$, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$. По теореме Пифагора для треугольника $ADD_1$ находим гипотенузу $AD_1$:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$.Таким образом, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Теперь мы знаем все стороны треугольника $AC_1D_1$: $C_1D_1 = 1$, $AC_1 = 2$, $AD_1 = \sqrt{5}$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения угла $\angle AC_1D_1$:$AD_1^2 = AC_1^2 + C_1D_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot C_1D_1 \cdot \cos(\angle AC_1D_1)$.Подставим найденные значения:$(\sqrt{5})^2 = 2^2 + 1^2 - 2 \cdot 2 \cdot 1 \cdot \cos(\angle AC_1D_1)$$5 = 4 + 1 - 4 \cos(\angle AC_1D_1)$$5 = 5 - 4 \cos(\angle AC_1D_1)$.Отсюда получаем $4 \cos(\angle AC_1D_1) = 0$, и $\cos(\angle AC_1D_1) = 0$. Угол в треугольнике, косинус которого равен нулю, составляет $90^\circ$.

Также можно было заметить, что для сторон треугольника $AC_1D_1$ выполняется равенство $AC_1^2 + C_1D_1^2 = 2^2 + 1^2 = 5 = (\sqrt{5})^2 = AD_1^2$. Согласно обратной теореме Пифагора, это означает, что треугольник $AC_1D_1$ является прямоугольным, и его прямой угол — это $\angle AC_1D_1$.

Ответ: $90^\circ$.