Номер 34, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

34. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла $ABE_1$.

Для решения задачи найдем длины сторон треугольника $ABE_1$. Тангенс угла $ABE_1$ можно будет найти из соотношений в этом треугольнике.

1. Найдем длину стороны AB.
Сторона $AB$ является ребром основания правильной шестиугольной призмы. По условию, все ребра призмы равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Найдем длину стороны AE₁.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $AEE_1$, в котором катет $EE_1$ является боковым ребром призмы, а катет $AE$ — диагональю основания.Высота призмы $EE_1 = 1$.Длину диагонали $AE$ найдем из основания — правильного шестиугольника $ABCDEF$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Рассмотрим треугольник $AFE$. Он равнобедренный, так как $AF=FE=1$ (стороны шестиугольника). Угол $\angle AFE = 120^\circ$.По теореме косинусов для треугольника $AFE$:
$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ)$
$AE^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$
Отсюда $AE = \sqrt{3}$.Теперь по теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $AEE_1$:
$AE_1^2 = AE^2 + EE_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$
Следовательно, $AE_1 = \sqrt{4} = 2$.

3. Найдем длину стороны BE₁.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $BEE_1$, в котором катет $EE_1$ является боковым ребром призмы ($EE_1 = 1$), а катет $BE$ — большой диагональю основания.Длина большой диагонали правильного шестиугольника со стороной $a$ равна $2a$. В нашем случае $a=1$, поэтому $BE = 2 \cdot 1 = 2$.По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $BEE_1$:
$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
Следовательно, $BE_1 = \sqrt{5}$.

4. Найдем тангенс угла ABE₁.
Мы нашли все стороны треугольника $ABE_1$: $AB = 1$, $AE_1 = 2$, $BE_1 = \sqrt{5}$.Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:
$AB^2 + AE_1^2 = 1^2 + 2^2 = 1 + 4 = 5$
$BE_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
Поскольку $AB^2 + AE_1^2 = BE_1^2$, треугольник $ABE_1$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $A$ ($\angle BAE_1 = 90^\circ$).В прямоугольном треугольнике $ABE_1$ тангенс угла $ABE_1$ равен отношению противолежащего катета $AE_1$ к прилежащему катету $AB$:
$\tan(\angle ABE_1) = \frac{AE_1}{AB} = \frac{2}{1} = 2$.

Ответ: 2