Номер 31, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны $1$, точки $E$, $F$ $-$ середины ребер соответственно $AB$, $BC$. Найдите угол между прямыми $SA$ и $EF$.

По условию задачи дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основании пирамиды лежит квадрат $ABCD$ со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1. Точки $E$ и $F$ являются серединами ребер $AB$ и $BC$ соответственно. Требуется найти угол между прямыми $SA$ и $EF$.

Прямые $SA$ и $EF$ являются скрещивающимися, так как они не лежат в одной плоскости и не параллельны. Угол между скрещивающимися прямыми по определению равен углу между двумя пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим треугольник $ABC$, лежащий в основании пирамиды. Поскольку $E$ — середина стороны $AB$ и $F$ — середина стороны $BC$, отрезок $EF$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, она параллельна третьей стороне, то есть $EF \parallel AC$.

Следовательно, угол между скрещивающимися прямыми $SA$ и $EF$ равен углу между пересекающимися прямыми $SA$ и $AC$. Эти прямые пересекаются в точке $A$, значит, искомый угол равен углу $\angle SAC$.

Чтобы найти величину угла $\angle SAC$, рассмотрим треугольник $SAC$. Найдем длины его сторон:
1. $SA = 1$ (по условию, ребро пирамиды).
2. $SC = 1$ (по условию, ребро пирамиды).
3. $AC$ — диагональ квадрата $ABCD$ со стороной 1. По теореме Пифагора для прямоугольного треугольника $ABC$: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = 1^2 + 1^2 = 2$. Отсюда $AC = \sqrt{2}$.

В треугольнике $SAC$ известны длины всех трех сторон: $SA = 1$, $SC = 1$ и $AC = \sqrt{2}$. Применим к этому треугольнику теорему косинусов для нахождения угла $\angle SAC$:
$SC^2 = SA^2 + AC^2 - 2 \cdot SA \cdot AC \cdot \cos(\angle SAC)$
Подставим известные значения:
$1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle SAC)$
$1 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \cos(\angle SAC)$
$1 = 3 - 2\sqrt{2} \cos(\angle SAC)$
$2\sqrt{2} \cos(\angle SAC) = 3 - 1$
$2\sqrt{2} \cos(\angle SAC) = 2$
$\cos(\angle SAC) = \frac{2}{2\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$.Следовательно, $\angle SAC = 45^\circ$.Так как искомый угол между прямыми $SA$ и $EF$ равен углу $\angle SAC$, он равен $45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.