Номер 29, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

29. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, найдите косинус угла $AC_1B$.

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а боковые ребра $AA_1$, $BB_1$, $CC_1$ равны 1 и перпендикулярны основаниям. Боковые грани призмы являются квадратами со стороной 1.

Требуется найти косинус угла $AC_1B$. Этот угол находится в треугольнике $AC_1B$. Для нахождения косинуса угла воспользуемся теоремой косинусов. Для треугольника $AC_1B$ она выглядит так:

$AB^2 = AC_1^2 + BC_1^2 - 2 \cdot AC_1 \cdot BC_1 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

Для применения этой теоремы нам необходимо найти длины всех трех сторон треугольника $AC_1B$.

1. Найдем длину стороны $AB$.
Сторона $AB$ является ребром основания призмы. По условию, все ребра равны 1. Следовательно, $AB = 1$.

2. Найдем длину стороны $AC_1$.
Отрезок $AC_1$ является диагональю боковой грани $AA_1C_1C$. Эта грань – квадрат, так как $AC = 1$ (ребро основания) и $CC_1 = 1$ (боковое ребро). Рассмотрим прямоугольный треугольник $ACC_1$ (угол $\angle ACC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны $BC_1$.
Аналогично, отрезок $BC_1$ является диагональю боковой грани $BB_1C_1C$, которая также является квадратом со стороной 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник $BCC_1$ (угол $\angle BCC_1 = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$BC_1^2 = BC^2 + CC_1^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$

Следовательно, $BC_1 = \sqrt{2}$.

Теперь, когда мы знаем длины всех сторон треугольника $AC_1B$ ($AB = 1$, $AC_1 = \sqrt{2}$, $BC_1 = \sqrt{2}$), подставим эти значения в формулу теоремы косинусов:

$1^2 = (\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot \sqrt{2} \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(\angle AC_1B)$

$1 = 2 + 2 - 2 \cdot 2 \cdot \cos(\angle AC_1B)$

$1 = 4 - 4 \cos(\angle AC_1B)$

Теперь выразим косинус искомого угла:

$4 \cos(\angle AC_1B) = 4 - 1$

$4 \cos(\angle AC_1B) = 3$

$\cos(\angle AC_1B) = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$.