Номер 30, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $SB$ и $AC$.

31. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми SB и AC в правильной четырехугольной пирамиде SABCD воспользуемся геометрическим подходом, основанным на перпендикулярности прямой и плоскости.

Пусть O — точка пересечения диагоналей AC и BD квадрата ABCD, лежащего в основании пирамиды. Поскольку пирамида SABCD является правильной, ее вершина S проецируется в центр основания O. Следовательно, отрезок SO является высотой пирамиды.

1. В основании пирамиды лежит квадрат ABCD. По свойству диагоналей квадрата, они пересекаются под прямым углом. Таким образом, диагональ AC перпендикулярна диагонали BD.

$AC \perp BD$

2. Так как SO — высота правильной пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания (ABCD). Это означает, что прямая SO перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. В частности, SO перпендикулярна прямой AC.

$SO \perp AC$

3. Мы имеем две пересекающиеся прямые, BD и SO, которые вместе образуют плоскость SBD. Обе эти прямые перпендикулярны прямой AC.

4. Согласно признаку перпендикулярности прямой и плоскости: если прямая (в нашем случае AC) перпендикулярна двум пересекающимся прямым (BD и SO), лежащим в некоторой плоскости (SBD), то она перпендикулярна и самой этой плоскости.

5. Таким образом, прямая AC перпендикулярна плоскости SBD.

6. Если прямая перпендикулярна плоскости, то она перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости. Боковое ребро SB принадлежит плоскости SBD.

Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой SB, и угол между ними равен $90^\circ$.

Условие о том, что все ребра равны 1, является избыточным для нахождения величины угла, но оно подтверждает, что данная конфигурация пирамиды возможна. Результат был бы таким же для любой правильной четырехугольной пирамиды.

Ответ: $90^\circ$.