Номер 35, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

35. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1F_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Суть метода заключается в том, чтобы одну из прямых заменить на параллельную ей прямую, которая пересекает вторую. Угол между получившимися пересекающимися прямыми и будет искомым.

Рассмотрим основания призмы — правильные шестиугольники $ABCDEF$ и $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. В правильном шестиугольнике $ABCDEF$ диагональ $CE$ параллельна диагонали $BF$. Поскольку призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ является правильной, ее основания параллельны, а боковые ребра перпендикулярны основаниям. Это означает, что четырехугольник $BFF_1B_1$ является прямоугольником, и, следовательно, прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $BF$. Таким образом, прямая $B_1F_1$ параллельна прямой $CE$.

Это можно доказать и с помощью векторов. Если поместить центр основания в начало координат, то окажется, что векторы $\vec{B_1F_1}$ и $\vec{CE}$ равны, что доказывает их параллельность.

Итак, искомый угол между прямыми $AC$ и $B_1F_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $CE$. Этот угол — $\angle ACE$ в треугольнике $ACE$, который лежит в плоскости нижнего основания.

Найдем длины сторон треугольника $ACE$. По условию, все ребра призмы равны 1, значит, и сторона основания (правильного шестиугольника) равна 1.

Сторона $AC$ является малой диагональю шестиугольника. Рассмотрим треугольник $ABC$. В нем $AB = BC = 1$, а $\angle ABC = 120^\circ$ (внутренний угол правильного шестиугольника). По теореме косинусов:

$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$

$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$

Отсюда $AC = \sqrt{3}$.

Аналогично, отрезки $CE$ (соединяет вершины $C$ и $E$ через одну, $D$) и $EA$ (соединяет вершины $E$ и $A$ через одну, $F$) также являются малыми диагоналями этого же правильного шестиугольника. Следовательно, их длины также равны $\sqrt{3}$.

$CE = \sqrt{3}$

$EA = \sqrt{3}$

Поскольку все три стороны треугольника $ACE$ равны ($AC = CE = EA = \sqrt{3}$), этот треугольник является равносторонним.

Все углы в равностороннем треугольнике равны $60^\circ$. Следовательно, $\angle ACE = 60^\circ$. Этот угол и является искомым углом между прямыми $AC$ и $B_1F_1$.

Ответ: $60^\circ$.