Номер 36, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

36. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $B_1 D_1$.

37. В

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ воспользуемся методом параллельного переноса. Прямая $AC$ лежит в плоскости нижнего основания $ABCDEF$, а прямая $B_1D_1$ — в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Поскольку призма правильная, ее основания являются параллельными плоскостями, а верхнее основание $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ получено из нижнего $ABCDEF$ параллельным переносом на вектор $\vec{AA_1}$. При этом переносе отрезок $BD$ переходит в отрезок $B_1D_1$. Следовательно, прямая $B_1D_1$ параллельна прямой $BD$.

Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $B_1D_1$ равен углу между пересекающимися прямыми $AC$ и $BD$, которые лежат в плоскости нижнего основания. Найдем этот угол.

Основанием призмы является правильный шестиугольник $ABCDEF$, все стороны которого по условию равны 1. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABC$. Так как $AB = BC = 1$, он является равнобедренным. Угол при вершине $\angle ABC = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle BAC = \angle BCA = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Аналогично рассмотрим треугольник $\triangle BCD$. Он также равнобедренный, так как $BC = CD = 1$, а угол при вершине $\angle BCD = 120^\circ$. Углы при основании равны: $\angle CBD = \angle CDB = (180^\circ - 120^\circ) / 2 = 30^\circ$.

Пусть $P$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$. Рассмотрим треугольник $\triangle BPC$. В этом треугольнике нам известны два угла:

$\angle PCB = \angle BCA = 30^\circ$

$\angle PBC = \angle CBD = 30^\circ$

Следовательно, третий угол треугольника $\triangle BPC$ равен $\angle BPC = 180^\circ - (\angle PCB + \angle PBC) = 180^\circ - (30^\circ + 30^\circ) = 120^\circ$.

Угол между двумя пересекающимися прямыми — это наименьший из углов, образованных при их пересечении. В точке $P$ образуются два смежных угла: $\angle BPC = 120^\circ$ и угол, равный $180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$. Наименьший из них равен $60^\circ$.

Таким образом, угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $60^\circ$, а значит, и угол между прямыми $AC$ и $B_1D_1$ также равен $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.