Номер 37, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

37. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите тангенс угла между прямыми $AB$ и $CF_1$.

Для нахождения тангенса угла между скрещивающимися прямыми $AB$ и $CF_1$ воспользуемся методом координат.

Введем трехмерную декартову систему координат. Поместим начало координат $O$ в центр нижнего основания $ABCDEF$ призмы. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OD$, а ось $Oy$ так, чтобы вершина $C$ имела положительную координату $y$. Ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $DD_1$.

По условию, все ребра призмы равны 1. В основании лежит правильный шестиугольник со стороной 1. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершин равно стороне шестиугольника, то есть 1.

Найдем координаты необходимых нам вершин:

Вершины нижнего основания ($z=0$):

• $A$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $180^\circ$. Координаты $A(-1, 0, 0)$.
• $B$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $120^\circ$. Координаты $B(\cos(120^\circ), \sin(120^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $C$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $60^\circ$. Координаты $C(\cos(60^\circ), \sin(60^\circ), 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.
• $F$: Угол с положительным направлением оси $Ox$ составляет $240^\circ$ или $-120^\circ$. Координаты $F(\cos(240^\circ), \sin(240^\circ), 0) = (-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Вершины верхнего основания ($z=1$):

• $F_1$: Имеет те же координаты $x$ и $y$, что и $F$, а координата $z=1$. Координаты $F_1(-\frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2}, 1)$.

Теперь найдем векторы, соответствующие прямым $AB$ и $CF_1$.

Направляющий вектор прямой $AB$ — это вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = (x_B - x_A, y_B - y_A, z_B - z_A) = (-\frac{1}{2} - (-1), \frac{\sqrt{3}}{2} - 0, 0 - 0) = (\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, 0)$.

Направляющий вектор прямой $CF_1$ — это вектор $\vec{CF_1}$:

$\vec{CF_1} = (x_{F_1} - x_C, y_{F_1} - y_C, z_{F_1} - z_C) = (-\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}, 1 - 0) = (-1, -\sqrt{3}, 1)$.

Угол $\alpha$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами. Косинус угла между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{a} \cdot \vec{b}|}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{CF_1}$:

$\vec{AB} \cdot \vec{CF_1} = (\frac{1}{2}) \cdot (-1) + (\frac{\sqrt{3}}{2}) \cdot (-\sqrt{3}) + 0 \cdot 1 = -\frac{1}{2} - \frac{3}{2} = -2$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AB}| = \sqrt{(\frac{1}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}}{2})^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{3}{4}} = \sqrt{1} = 1$.

$|\vec{CF_1}| = \sqrt{(-1)^2 + (-\sqrt{3})^2 + 1^2} = \sqrt{1 + 3 + 1} = \sqrt{5}$.

Теперь вычислим косинус угла $\alpha$:

$\cos \alpha = \frac{|\vec{AB} \cdot \vec{CF_1}|}{|\vec{AB}| \cdot |\vec{CF_1}|} = \frac{|-2|}{1 \cdot \sqrt{5}} = \frac{2}{\sqrt{5}}$.

Нам нужно найти тангенс угла. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: $\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1$. Так как угол между прямыми острый, $\sin\alpha > 0$.

$\sin\alpha = \sqrt{1 - \cos^2\alpha} = \sqrt{1 - (\frac{2}{\sqrt{5}})^2} = \sqrt{1 - \frac{4}{5}} = \sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.

Тангенс угла $\alpha$ равен отношению синуса к косинусу:

$\tan \alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} = \frac{1/\sqrt{5}}{2/\sqrt{5}} = \frac{1}{2}$.

Ответ: $0.5$