Номер 38, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

38. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ACD_1$.

Для нахождения угла $ACD_1$ мы воспользуемся методом, основанным на нахождении длин сторон треугольника $ACD_1$ и последующем применении теоремы косинусов (или обратной теоремы Пифагора).

Дана правильная шестиугольная призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, у которой все ребра равны 1. Это означает, что сторона основания (правильного шестиугольника $ABCDEF$) равна 1, и высота призмы (длина боковых ребер, например, $AA_1, DD_1$) также равна 1.

1. Найдем длину стороны AC.
Сторона AC — это малая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$. Рассмотрим треугольник $ABC$, который лежит в основании призмы. В этом треугольнике $AB = BC = 1$. Угол правильного шестиугольника $\angle ABC$ равен $120^\circ$.
По теореме косинусов для треугольника $ABC$:
$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos(\angle ABC)$
$AC^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 2 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$
Таким образом, $AC = \sqrt{3}$.

2. Найдем длину стороны CD₁.
Рассмотрим треугольник $CDD_1$. Так как призма правильная, боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и ребру $CD$, которое лежит в этой плоскости. Следовательно, треугольник $CDD_1$ является прямоугольным с прямым углом $\angle CDD_1$.
Катеты этого треугольника: $CD = 1$ (сторона основания) и $DD_1 = 1$ (боковое ребро).
По теореме Пифагора:
$CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2 = 1^2 + 1^2 = 2$
Таким образом, $CD_1 = \sqrt{2}$.

3. Найдем длину стороны AD₁.
Сначала найдем длину диагонали $AD$ в основании. $AD$ — это большая диагональ правильного шестиугольника. Ее длина в два раза больше длины стороны шестиугольника.$AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.
Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ADD_1$ (угол $\angle ADD_1 = 90^\circ$, так как $DD_1$ перпендикулярно основанию).
Катеты: $AD = 2$ и $DD_1 = 1$.
По теореме Пифагора:
$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$
Таким образом, $AD_1 = \sqrt{5}$.

4. Определим угол ACD₁.
Мы нашли все три стороны треугольника $ACD_1$: $AC = \sqrt{3}$, $CD_1 = \sqrt{2}$ и $AD_1 = \sqrt{5}$.
Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора. Сравним квадрат большей стороны с суммой квадратов двух других сторон:
$AD_1^2 = (\sqrt{5})^2 = 5$
$AC^2 + CD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + (\sqrt{2})^2 = 3 + 2 = 5$
Так как $AD_1^2 = AC^2 + CD_1^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $ACD_1$ является прямоугольным. Прямой угол лежит напротив самой длинной стороны (гипотенузы) $AD_1$. Этот угол — $\angle ACD_1$.
Следовательно, $\angle ACD_1 = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.