Номер 43, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

43. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямыми $AC$ и $DF_1$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AC$ и $DF_1$ воспользуемся координатно-векторным методом.

1. Введение системы координат.

Введем прямоугольную декартову систему координат. Поместим центр нижнего основания призмы (правильного шестиугольника $ABCDEF$) в начало координат $O(0, 0, 0)$. Ось $Ox$ направим вдоль луча $OA$, ось $Oz$ направим вдоль бокового ребра $AA_1$.

Так как призма правильная и все ребра равны 1, то сторона основания $a=1$ и высота призмы $h=1$. В правильном шестиугольнике расстояние от центра до любой вершины равно стороне, то есть 1.

2. Определение координат вершин.

Определим координаты необходимых нам точек. Углы между соседними радиус-векторами, проведенными из центра к вершинам, равны $60^\circ$.

• Точка $A$ лежит на положительной полуоси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат. Ее координаты: $A(1, 0, 0)$.
• Точка $C$ получается поворотом точки $A$ на $120^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $C(1 \cdot \cos(120^\circ), 1 \cdot \sin(120^\circ), 0) = (-1/2, \sqrt{3}/2, 0)$.
• Точка $D$ получается поворотом точки $A$ на $180^\circ$ вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $D(1 \cdot \cos(180^\circ), 1 \cdot \sin(180^\circ), 0) = (-1, 0, 0)$.
• Точка $F$ получается поворотом точки $A$ на $-60^\circ$ (или $300^\circ$) вокруг оси $Oz$. Ее координаты: $F(1 \cdot \cos(-60^\circ), 1 \cdot \sin(-60^\circ), 0) = (1/2, -\sqrt{3}/2, 0)$.
• Точка $F_1$ является проекцией точки $F$ на верхнее основание, которое лежит в плоскости $z=1$. Ее координаты: $F_1(1/2, -\sqrt{3}/2, 1)$.

3. Нахождение направляющих векторов прямых.

Найдем координаты направляющих векторов для прямых $AC$ и $DF_1$.

• Вектор $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \{C_x - A_x; C_y - A_y; C_z - A_z\} = \{-1/2 - 1; \sqrt{3}/2 - 0; 0 - 0\} = \{-3/2; \sqrt{3}/2; 0\}$.
• Вектор $\vec{DF_1}$: $\vec{DF_1} = \{F_{1x} - D_x; F_{1y} - D_y; F_{1z} - D_z\} = \{1/2 - (-1); -\sqrt{3}/2 - 0; 1 - 0\} = \{3/2; -\sqrt{3}/2; 1\}$.

4. Вычисление угла между векторами.

Угол $\theta$ между векторами $\vec{u}$ и $\vec{v}$ вычисляется по формуле: $\cos \theta = \frac{\vec{u} \cdot \vec{v}}{|\vec{u}| \cdot |\vec{v}|}$.

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{DF_1}$:

$\vec{AC} \cdot \vec{DF_1} = (-3/2) \cdot (3/2) + (\sqrt{3}/2) \cdot (-\sqrt{3}/2) + 0 \cdot 1 = -9/4 - 3/4 + 0 = -12/4 = -3$.

Найдем длины (модули) векторов:

$|\vec{AC}| = \sqrt{(-3/2)^2 + (\sqrt{3}/2)^2 + 0^2} = \sqrt{9/4 + 3/4} = \sqrt{12/4} = \sqrt{3}$.

$|\vec{DF_1}| = \sqrt{(3/2)^2 + (-\sqrt{3}/2)^2 + 1^2} = \sqrt{9/4 + 3/4 + 1} = \sqrt{12/4 + 1} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.

Теперь найдем косинус угла между векторами:

$\cos \theta = \frac{-3}{\sqrt{3} \cdot 2} = -\frac{3}{2\sqrt{3}} = -\frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол между векторами $\theta = \arccos(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = 150^\circ$.

Угол между прямыми по определению является острым углом, поэтому, если угол между направляющими векторами тупой, искомый угол равен $180^\circ - \theta$.

Искомый угол $\alpha = 180^\circ - 150^\circ = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.