Номер 45, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

45. В правильной шестиугольной пирамиде $SABCDEF$, стороны основания которой равны 1, а боковые ребра равны 2, точка $G$ — середина ребра $SD$. Найдите угол между прямыми $AG$ и $BC$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $AG$ и $BC$ воспользуемся методом параллельного переноса. Заменим одну из прямых на параллельную ей, пересекающую вторую прямую.

В основании пирамиды лежит правильный шестиугольник $ABCDEF$. В правильном шестиугольнике сторона $BC$ параллельна большой диагонали $AD$ ($BC \parallel AD$). Следовательно, искомый угол между прямыми $AG$ и $BC$ равен углу между прямыми $AG$ и $AD$. Так как эти прямые пересекаются в точке $A$, то искомый угол равен $\angle GAD$ в треугольнике $GAD$.

Найдем длины сторон треугольника $GAD$ для последующего нахождения угла.

1. Найдем длину $AD$. $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ со стороной, равной 1. Длина большой диагонали правильного шестиугольника вдвое больше длины его стороны, поэтому $AD = 2 \cdot 1 = 2$.

2. Найдем длину $GD$. По условию, точка $G$ — середина ребра $SD$, а длина бокового ребра $SD$ равна 2. Следовательно, $GD = \frac{1}{2} SD = \frac{1}{2} \cdot 2 = 1$.

3. Найдем длину $AG$. Для этого рассмотрим треугольник $SAD$. Мы знаем, что $SA = 2$ (боковое ребро), $SD = 2$ (боковое ребро) и $AD = 2$ (большая диагональ основания). Так как все стороны треугольника $SAD$ равны 2, он является равносторонним.

Отрезок $AG$ является медианой в равностороннем треугольнике $SAD$, проведенной из вершины $A$ к стороне $SD$. В равностороннем треугольнике медиана также является и высотой. Длину высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ можно найти по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Для треугольника $SAD$ со стороной $a=2$ получаем:$AG = \frac{2\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.

Итак, мы имеем треугольник $GAD$ со сторонами $AG = \sqrt{3}$, $GD = 1$ и $AD = 2$.

Для нахождения угла $\angle GAD$ воспользуемся теоремой косинусов:$GD^2 = AG^2 + AD^2 - 2 \cdot AG \cdot AD \cdot \cos(\angle GAD)$Подставим известные значения:$1^2 = (\sqrt{3})^2 + 2^2 - 2 \cdot \sqrt{3} \cdot 2 \cdot \cos(\angle GAD)$$1 = 3 + 4 - 4\sqrt{3} \cos(\angle GAD)$$1 = 7 - 4\sqrt{3} \cos(\angle GAD)$$4\sqrt{3} \cos(\angle GAD) = 6$$\cos(\angle GAD) = \frac{6}{4\sqrt{3}} = \frac{3}{2\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{2 \cdot 3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол, косинус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, составляет $30^\circ$.Следовательно, $\angle GAD = 30^\circ$.

Заметим также, что для сторон треугольника $GAD$ выполняется равенство $AG^2 + GD^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$ и $AD^2 = 2^2 = 4$. Таким образом, $AG^2 + GD^2 = AD^2$, что по теореме, обратной теореме Пифагора, означает, что треугольник $GAD$ — прямоугольный, с прямым углом при вершине $G$. Тогда $\cos(\angle GAD) = \frac{\text{прилежащий катет}}{\text{гипотенуза}} = \frac{AG}{AD} = \frac{\sqrt{3}}{2}$, что также дает $\angle GAD = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.