Номер 1, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

1. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $BCD_1$.

1. Для решения задачи введем прямоугольную систему координат. Пусть ребро куба равно $a$. Поместим начало координат в вершину $B$, а оси $Ox$, $Oy$, $Oz$ направим вдоль ребер $BA$, $BC$ и $BB_1$ соответственно.

В этой системе координат вершины куба, необходимые для решения, будут иметь следующие координаты:
$B(0, 0, 0)$
$A(a, 0, 0)$
$C(0, a, 0)$
$D_1(a, a, a)$

Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Мы найдем этот угол $\alpha$, используя векторы. Синус угла между прямой с направляющим вектором $\vec{s}$ и плоскостью с вектором нормали $\vec{n}$ вычисляется по формуле:$ \sin \alpha = \frac{|\vec{s} \cdot \vec{n}|}{|\vec{s}| |\vec{n}|} $.

Сначала найдем направляющий вектор $\vec{s}$ для прямой $AC$. Вектор $\vec{AC}$ можно найти как разность координат его конца и начала:$\vec{s} = \vec{AC} = (0-a, a-0, 0-0) = (-a, a, 0)$. Для удобства вычислений можно использовать коллинеарный вектор, разделив все координаты на $a$ (поскольку длина вектора не влияет на его направление): $\vec{s} = (-1, 1, 0)$.

Далее найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в плоскости. Возьмем векторы $\vec{BC}$ и $\vec{BD_1}$ и найдем их векторное произведение.$\vec{BC} = (0-0, a-0, 0-0) = (0, a, 0)$.$\vec{BD_1} = (a-0, a-0, a-0) = (a, a, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ равен:$\vec{n} = \vec{BC} \times \vec{BD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & a & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(a \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(0 \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(0 \cdot a - a \cdot a) = (a^2, 0, -a^2)$.Упростим вектор нормали, разделив его координаты на $a^2$: $\vec{n} = (1, 0, -1)$.

Теперь вычислим скалярное произведение векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:$\vec{s} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 1 + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) = -1 + 0 + 0 = -1$.Модуль этого скалярного произведения: $|\vec{s} \cdot \vec{n}| = |-1| = 1$.

Найдем длины (модули) векторов $\vec{s}$ и $\vec{n}$:$|\vec{s}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.$|\vec{n}| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим полученные значения в формулу для синуса искомого угла $\alpha$:$\sin \alpha = \frac{1}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{1}{2}$, составляет $30^\circ$. Следовательно, угол между прямой $AC$ и плоскостью $BCD_1$ равен $30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.