Номер 5, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

5. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $A_1C_1$ и плоскостью $BCD_1$.

6. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BC$ и плоскостью

5. Для нахождения угла между прямой и плоскостью воспользуемся методом координат. Угол $\alpha$ между прямой и плоскостью связан с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{v}$ и вектором нормали к плоскости $\vec{n}$ соотношением $\sin\alpha = |\cos\beta|$. Формула для вычисления синуса искомого угла: $\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|}$.

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$. Направим ось $Ox$ вдоль ребра $DA$, ось $Oy$ вдоль ребра $DC$ и ось $Oz$ вдоль ребра $DD_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

В этой системе координат вершины куба будут иметь следующие координаты:
$A(a, 0, 0)$, $C(0, a, 0)$, $D_1(0, 0, a)$, $A_1(a, 0, a)$, $C_1(0, a, a)$, $B(a, a, 0)$.

Найдем направляющий вектор $\vec{v}$ для прямой $A_1C_1$.
Вектор $\vec{A_1C_1}$ имеет координаты, равные разности координат конца и начала: $\vec{A_1C_1} = (0 - a, a - 0, a - a) = (-a, a, 0)$.
В качестве направляющего вектора $\vec{v}$ можно взять любой коллинеарный вектор. Для упрощения расчетов разделим координаты на $a$: $\vec{v} = (-1, 1, 0)$.

Теперь найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $BCD_1$. Эта плоскость проходит через точки $B(a, a, 0)$, $C(0, a, 0)$ и $D_1(0, 0, a)$.
Для нахождения нормали найдем два неколлинеарных вектора, лежащих в этой плоскости, например, $\vec{CB}$ и $\vec{CD_1}$.
$\vec{CB} = (a - 0, a - a, 0 - 0) = (a, 0, 0)$.
$\vec{CD_1} = (0 - 0, 0 - a, a - 0) = (0, -a, a)$.
Вектор нормали $\vec{n}$ перпендикулярен обоим этим векторам, и его можно найти как их векторное произведение:
$\vec{n} = \vec{CB} \times \vec{CD_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ 0 & -a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot (-a)) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot 0) + \mathbf{k}(a \cdot (-a) - 0 \cdot 0) = 0\mathbf{i} - a^2\mathbf{j} - a^2\mathbf{k} = (0, -a^2, -a^2)$.
Для упрощения возьмем коллинеарный вектор, разделив на $-a^2$: $\vec{n} = (0, 1, 1)$.

Теперь, когда у нас есть направляющий вектор прямой $\vec{v}=(-1, 1, 0)$ и вектор нормали плоскости $\vec{n}=(0, 1, 1)$, мы можем вычислить угол $\alpha$.
Вычислим скалярное произведение векторов:
$\vec{v} \cdot \vec{n} = (-1) \cdot 0 + 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 = 0 + 1 + 0 = 1$.
Вычислим модули (длины) векторов:
$|\vec{v}| = \sqrt{(-1)^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.
$|\vec{n}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{0 + 1 + 1} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения в формулу для синуса угла между прямой и плоскостью:
$\sin\alpha = \frac{|\vec{v} \cdot \vec{n}|}{|\vec{v}| |\vec{n}|} = \frac{|1|}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Искомый угол $\alpha$ равен арксинусу от $1/2$. Так как угол между прямой и плоскостью по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$, то:
$\alpha = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$