Номер 10, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Угол между прямой и плоскостью. Обобщающее повторение - номер 10, страница 121.

Условия.

10. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $BC_1$ и плоскостью $BDD_1$.

11. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $CA_1$ и плоскостью

Решение.

Решение 2.

10. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$.

1. Построим проекцию прямой $BC_1$ на плоскость $BDD_1$. Для этого нужно найти проекции точек $B$ и $C_1$ на эту плоскость.

• Точка $B$ уже лежит в плоскости $BDD_1$, поэтому проекция точки $B$ на плоскость $BDD_1$ есть сама точка $B$.

• Чтобы найти проекцию точки $C_1$, опустим из неё перпендикуляр на плоскость $BDD_1$. Рассмотрим верхнюю грань куба $A_1B_1C_1D_1$, которая является квадратом. Диагонали этого квадрата $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $O_1$ и взаимно перпендикулярны: $A_1C_1 \perp B_1D_1$. Прямая $B_1D_1$ лежит в плоскости $BDD_1$. Следовательно, отрезок $C_1O_1$ перпендикулярен прямой $B_1D_1$.

• Ребро $DD_1$ перпендикулярно всей плоскости $A_1B_1C_1D_1$, а значит, и любой прямой, лежащей в этой плоскости. Таким образом, $DD_1 \perp C_1O_1$. Прямая $DD_1$ также лежит в плоскости $BDD_1$.

• Поскольку отрезок $C_1O_1$ перпендикулярен двум пересекающимся прямым ($B_1D_1$ и $DD_1$) в плоскости $BDD_1$, он перпендикулярен всей плоскости $BDD_1$. Это означает, что $O_1$ — ортогональная проекция точки $C_1$ на плоскость $BDD_1$.

• Таким образом, прямая $BO_1$ является проекцией прямой $BC_1$ на плоскость $BDD_1$.

2. Найдём величину угла между прямой $BC_1$ и её проекцией $BO_1$. Искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle C_1BO_1$.

Рассмотрим треугольник $\triangle C_1BO_1$. Так как $C_1O_1$ — перпендикуляр к плоскости $BDD_1$, а прямая $BO_1$ лежит в этой плоскости, то $C_1O_1 \perp BO_1$. Следовательно, треугольник $\triangle C_1BO_1$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $O_1$.

Пусть длина ребра куба равна $a$.

• $BC_1$ — диагональ грани $BCC_1B_1$. По теореме Пифагора для $\triangle BCC_1$: $BC_1 = \sqrt{BC^2 + CC_1^2} = \sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$.

• $C_1O_1$ — это половина диагонали $A_1C_1$ квадрата $A_1B_1C_1D_1$. Длина диагонали $A_1C_1$ равна $a\sqrt{2}$. Значит, $C_1O_1 = \frac{1}{2} A_1C_1 = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle C_1BO_1$ синус угла $\alpha = \angle C_1BO_1$ равен отношению противолежащего катета $C_1O_1$ к гипотенузе $BC_1$:

$\sin \alpha = \frac{C_1O_1}{BC_1} = \frac{\frac{a\sqrt{2}}{2}}{a\sqrt{2}} = \frac{1}{2}$.

Поскольку угол между прямой и плоскостью является острым, то $\alpha = \arcsin(\frac{1}{2}) = 30^\circ$.

Ответ: $30^\circ$.