Номер 15, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

15. В правильной четырехугольной пирамиде $SABCD$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBD$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, в которой все ребра равны 1. Это означает, что основание $ABCD$ является квадратом со стороной 1, а боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ также равны 1. Нам необходимо найти угол между прямой $SA$ и плоскостью $SBD$.

Угол между прямой и плоскостью — это острый угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Найдем проекцию прямой $SA$ на плоскость $SBD$.

Проекция точки $S$ на плоскость $SBD$ есть сама точка $S$, так как она лежит в этой плоскости. Чтобы найти проекцию прямой $SA$, нам нужно найти проекцию точки $A$ на плоскость $SBD$. Для этого опустим перпендикуляр из точки $A$ на плоскость $SBD$.

Пусть $O$ — центр квадрата $ABCD$, точка пересечения его диагоналей $AC$ и $BD$. В правильной пирамиде высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Рассмотрим прямую $AC$ и плоскость $SBD$.
1. Так как $ABCD$ — квадрат, его диагонали перпендикулярны: $AC \perp BD$.
2. Так как $SO$ — высота пирамиды, она перпендикулярна плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости: $SO \perp AC$.

Прямая $AC$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым ($BD$ и $SO$) в плоскости $SBD$. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$.

Поскольку прямая $AC$ перпендикулярна плоскости $SBD$ и пересекает ее в точке $O$, то точка $O$ является проекцией точки $A$ на плоскость $SBD$.

Таким образом, проекцией прямой $SA$ на плоскость $SBD$ является прямая $SO$. Искомый угол — это угол между прямой $SA$ и ее проекцией $SO$, то есть угол $\angle ASO$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ASO$. Так как высота $SO$ перпендикулярна плоскости основания, то $SO \perp AO$. Следовательно, $\triangle ASO$ — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине $O$.

Найдем длины сторон этого треугольника:
- Гипотенуза $SA = 1$ (по условию, все ребра равны 1).
- Катет $AO$ — половина диагонали квадрата $ABCD$. Длина стороны квадрата $AB=1$. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$. Тогда $AO = \frac{AC}{2} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ASO$ синус угла $\angle ASO$ равен отношению противолежащего катета $AO$ к гипотенузе $SA$:$\sin(\angle ASO) = \frac{AO}{SA} = \frac{\sqrt{2}/2}{1} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{2}}{2}$, составляет $45^\circ$. Таким образом, $\angle ASO = 45^\circ$.

Ответ: $45^\circ$.