Номер 8, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

8. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AC$ и плоскостью $ABC_1$.

9. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью

8. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Обозначим искомый угол как $\alpha$. Этот угол можно найти, используя его связь с углом $\beta$ между направляющим вектором прямой и вектором нормали к плоскости. Эта связь выражается формулой $\sin \alpha = |\cos \beta|$. Найдем угол $\alpha$ с помощью этого соотношения, используя координатный метод.

Введем прямоугольную систему координат. Пусть вершина $A$ куба совпадает с началом координат, а ребра $AB$, $AD$ и $AA_1$ лежат на осях $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Примем длину ребра куба равной $a$. Тогда координаты интересующих нас вершин будут:

$A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $C(a,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C_1(a,a,a)$.

1. Найдем направляющий вектор $\vec{d}$ прямой $A_1C$.

$\vec{d} = \vec{A_1C} = C - A_1 = (a-0, a-0, 0-a) = (a, a, -a)$.

2. Найдем вектор нормали $\vec{n}$ к плоскости $ABC_1$.

Плоскость $ABC_1$ задается тремя точками: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$ и $C_1(a,a,a)$. Вектор нормали перпендикулярен любым двум неколлинеарным векторам, лежащим в этой плоскости. Возьмем векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{AB} = B - A = (a, 0, 0)$.

$\vec{AC_1} = C_1 - A = (a, a, a)$.

Вектор нормали $\vec{n}$ найдем как векторное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC_1}$:

$\vec{n} = \vec{AB} \times \vec{AC_1} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a & 0 & 0 \\ a & a & a \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot a - 0 \cdot a) - \mathbf{j}(a \cdot a - 0 \cdot a) + \mathbf{k}(a \cdot a - 0 \cdot a) = (0, -a^2, a^2)$.

Для упрощения можно использовать коллинеарный вектор, например, разделив на $-a^2$, получим $\vec{n'} = (0, 1, -1)$.

3. Найдем косинус угла $\beta$ между направляющим вектором прямой $\vec{d}=(a, a, -a)$ и вектором нормали $\vec{n'}=(0, 1, -1)$.

$\cos \beta = \frac{|\vec{d} \cdot \vec{n'}|}{|\vec{d}| \cdot |\vec{n'}|}$.

Вычислим скалярное произведение:

$\vec{d} \cdot \vec{n'} = a \cdot 0 + a \cdot 1 + (-a) \cdot (-1) = 0 + a + a = 2a$.

Вычислим модули (длины) векторов:

$|\vec{d}| = \sqrt{a^2 + a^2 + (-a)^2} = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$.

$|\vec{n'}| = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-1)^2} = \sqrt{2}$.

Подставим найденные значения:

$\cos \beta = \frac{|2a|}{a\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{2\sqrt{6}}{6} = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

4. Найдем искомый угол $\alpha$.

Так как $\sin \alpha = |\cos \beta|$, получаем:

$\sin \alpha = \frac{\sqrt{6}}{3}$.

Следовательно, искомый угол равен арксинусу этого значения.

$\alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.

Ответ: $\arcsin\left(\frac{\sqrt{6}}{3}\right)$.