Номер 13, страница 121 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В тетраэдре $ABCD$, все ребра которого равны $1$, точка $E$ — середина ребра $AD$. Найдите угол между прямой $AD$ и плоскостью $BCE$.

По условию, $ABCD$ — правильный тетраэдр, так как все его ребра равны 1. Точка $E$ — середина ребра $AD$. Необходимо найти угол между прямой $AD$ и плоскостью $BCE$.

Углом между прямой и плоскостью называется угол между этой прямой и её проекцией на данную плоскость. Мы докажем, что прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $BCE$. Если прямая перпендикулярна плоскости, то угол между ними по определению равен $90^\circ$.

Для доказательства перпендикулярности прямой $AD$ и плоскости $BCE$ достаточно показать, что прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости. В качестве таких прямых выберем $BE$ и $CE$.

Воспользуемся векторным методом. Введем векторы, исходящие из вершины $A$: $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{AC}$, $\vec{w} = \vec{AD}$.

Так как $ABCD$ — правильный тетраэдр с ребром 1, длины (модули) этих векторов равны 1: $|\vec{u}| = |\vec{v}| = |\vec{w}| = 1$.

Все грани тетраэдра являются равносторонними треугольниками, поэтому углы между парами векторов $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$ равны $60^\circ$. Найдем скалярные произведения этих векторов: $\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $\vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}| \cdot |\vec{w}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$. $\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}| \cdot |\vec{w}| \cos(60^\circ) = 1 \cdot 1 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$.

Точка $E$ является серединой ребра $AD$, поэтому вектор $\vec{AE}$ можно выразить через вектор $\vec{w}$: $\vec{AE} = \frac{1}{2} \vec{AD} = \frac{1}{2} \vec{w}$.

Теперь выразим векторы $\vec{BE}$ и $\vec{CE}$, лежащие в плоскости $BCE$, через базисные векторы $\vec{u}$, $\vec{v}$ и $\vec{w}$: $\vec{BE} = \vec{AE} - \vec{AB} = \frac{1}{2} \vec{w} - \vec{u}$. $\vec{CE} = \vec{AE} - \vec{AC} = \frac{1}{2} \vec{w} - \vec{v}$.

Чтобы проверить перпендикулярность прямых $AD$ и $BE$, вычислим скалярное произведение их направляющих векторов $\vec{AD}$ и $\vec{BE}$: $\vec{AD} \cdot \vec{BE} = \vec{w} \cdot (\frac{1}{2} \vec{w} - \vec{u}) = \frac{1}{2} (\vec{w} \cdot \vec{w}) - (\vec{w} \cdot \vec{u})$. Зная, что $\vec{w} \cdot \vec{w} = |\vec{w}|^2 = 1^2 = 1$ и $\vec{w} \cdot \vec{u} = \frac{1}{2}$, получаем: $\vec{AD} \cdot \vec{BE} = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$. Так как скалярное произведение равно нулю, векторы ортогональны, а значит, прямые $AD$ и $BE$ перпендикулярны.

Аналогично проверим перпендикулярность прямых $AD$ и $CE$: $\vec{AD} \cdot \vec{CE} = \vec{w} \cdot (\frac{1}{2} \vec{w} - \vec{v}) = \frac{1}{2} (\vec{w} \cdot \vec{w}) - (\vec{w} \cdot \vec{v}) = \frac{1}{2} \cdot 1 - \frac{1}{2} = 0$. Следовательно, прямые $AD$ и $CE$ также перпендикулярны.

Прямые $BE$ и $CE$ лежат в плоскости $BCE$ и пересекаются в точке $E$. Поскольку прямая $AD$ перпендикулярна двум пересекающимся прямым в плоскости $BCE$, она перпендикулярна и самой плоскости $BCE$ по признаку перпендикулярности прямой и плоскости.

Угол между прямой и плоскостью, которой она перпендикулярна, равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.