Номер 33, страница 120 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

33. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол $ABD_1$.

Для нахождения угла $ABD_1$ в правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ рассмотрим треугольник $\triangle ABD_1$. Чтобы найти угол, воспользуемся теоремой косинусов, для чего предварительно вычислим длины всех трех сторон этого треугольника: $AB$, $BD_1$ и $AD_1$.

По условию задачи, все ребра призмы равны 1. Таким образом, длина стороны основания $AB$ равна 1.

Теперь найдем длину пространственной диагонали $BD_1$. Эта диагональ является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle BDD_1$, так как боковое ребро $DD_1$ перпендикулярно плоскости основания. Длина катета $DD_1$ равна 1. Длину катета $BD$, который является малой диагональю правильного шестиугольника $ABCDEF$ в основании, найдем из треугольника $\triangle BCD$. Внутренний угол правильного шестиугольника равен $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$, значит $\angle BCD = 120^\circ$. По теореме косинусов для $\triangle BCD$ имеем:$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(120^\circ)$$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$Отсюда $BD = \sqrt{3}$.Теперь можем найти $BD_1$ по теореме Пифагора для $\triangle BDD_1$:$BD_1^2 = BD^2 + DD_1^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 3 + 1 = 4$Следовательно, $BD_1 = \sqrt{4} = 2$.

Далее найдем длину пространственной диагонали $AD_1$. Она является гипотенузой в прямоугольном треугольнике $\triangle ADD_1$. Катет $DD_1 = 1$. Катет $AD$ является большой диагональю правильного шестиугольника в основании. Длина большой диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны, поэтому $AD = 2 \cdot AB = 2 \cdot 1 = 2$.По теореме Пифагора для $\triangle ADD_1$:$AD_1^2 = AD^2 + DD_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$Следовательно, $AD_1 = \sqrt{5}$.

Мы нашли все стороны треугольника $\triangle ABD_1$: $AB = 1$, $BD_1 = 2$ и $AD_1 = \sqrt{5}$. Пусть искомый угол $\angle ABD_1 = \alpha$. Применим теорему косинусов к $\triangle ABD_1$:$AD_1^2 = AB^2 + BD_1^2 - 2 \cdot AB \cdot BD_1 \cdot \cos(\alpha)$Подставим найденные значения:$(\sqrt{5})^2 = 1^2 + 2^2 - 2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot \cos(\alpha)$$5 = 1 + 4 - 4\cos(\alpha)$$5 = 5 - 4\cos(\alpha)$$4\cos(\alpha) = 0$$\cos(\alpha) = 0$Из этого уравнения находим, что угол $\alpha = 90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.