Номер 23, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $BE$ и плоскостью $BCC_1$.

24. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1 B_1 C_1 D_1 E_1 F_1$, все реб-

Для нахождения угла между прямой и плоскостью, найдем угол между этой прямой и ее проекцией на данную плоскость. Пусть $\alpha$ — искомый угол между прямой $BE_1$ и плоскостью $(BCC_1)$.

Проекцией прямой $BE_1$ на плоскость $(BCC_1)$ является прямая $BH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $E_1$ на плоскость $(BCC_1)$. Точка $B$ уже принадлежит этой плоскости, поэтому она является проекцией самой себя.

Искомый угол $\alpha$ — это угол $\angle E_1BH$ в прямоугольном треугольнике $\triangle E_1BH$ (с прямым углом при вершине $H$). Синус этого угла определяется как отношение противолежащего катета $E_1H$ к гипотенузе $BE_1$:$ \sin \alpha = \frac{E_1H}{BE_1} $

Найдем длину гипотенузы $BE_1$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle BEE_1$. Так как призма правильная и прямая, боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе и прямой $BE$. Следовательно, $\angle BEE_1 = 90^\circ$.

Длина бокового ребра $EE_1$ по условию равна 1.

$BE$ — это большая диагональ правильного шестиугольника $ABCDEF$, лежащего в основании. Длина большей диагонали правильного шестиугольника равна удвоенной длине его стороны. Так как по условию сторона шестиугольника равна 1, то $BE = 2 \cdot 1 = 2$.

Применим теорему Пифагора к треугольнику $\triangle BEE_1$:$BE_1^2 = BE^2 + EE_1^2 = 2^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$Отсюда $BE_1 = \sqrt{5}$.

Теперь найдем длину катета $E_1H$. Длина отрезка $E_1H$ — это расстояние от точки $E_1$ до плоскости $(BCC_1)$. Поскольку призма является прямой, плоскость боковой грани $(BCC_1)$ перпендикулярна плоскости основания. Это означает, что расстояние от точки $E_1$, лежащей в плоскости верхнего основания, до плоскости $(BCC_1)$ равно расстоянию от точки $E_1$ до прямой $B_1C_1$ в плоскости верхнего основания $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$.

Рассмотрим верхнее основание — правильный шестиугольник $A_1B_1C_1D_1E_1F_1$ со стороной 1. В правильном шестиугольнике противолежащие стороны параллельны, то есть $B_1C_1 \parallel E_1F_1$. Расстояние от точки $E_1$ (лежащей на прямой $E_1F_1$) до прямой $B_1C_1$ равно расстоянию между этими параллельными прямыми.

Это расстояние можно найти как сумму высот двух равносторонних треугольников с общей вершиной в центре шестиугольника $O_1$ и основаниями на этих сторонах. Высота равностороннего треугольника со стороной $a=1$ равна $h = \frac{a\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Расстояние между сторонами $B_1C_1$ и $E_1F_1$ равно $2h = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$.Следовательно, $E_1H = \sqrt{3}$.

Теперь мы можем вычислить синус искомого угла $\alpha$:$ \sin \alpha = \frac{E_1H}{BE_1} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{15}}{5} $

Отсюда искомый угол $\alpha$ равен арксинусу этого значения:$ \alpha = \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) $

Ответ: $ \arcsin\left(\frac{\sqrt{15}}{5}\right) $