Номер 30, страница 122 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

30. В правильной шестиугольной призме $ABCDEF A_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$.

Искомый угол $\alpha$ — это угол между прямой $AB$ и плоскостью $BEE_1$. По определению, угол между прямой и плоскостью равен углу между этой прямой и её проекцией на данную плоскость.

Поскольку точка $B$ уже лежит в плоскости $BEE_1$, проекцией прямой $AB$ на эту плоскость будет прямая $BH$, где $H$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на плоскость $BEE_1$. Таким образом, искомый угол $\alpha$ равен углу $\angle ABH$.

В прямоугольном треугольнике $\triangle ABH$ (с прямым углом $\angle AHB$) синус угла $\alpha$ определяется как отношение противолежащего катета $AH$ к гипотенузе $AB$:$\sin(\alpha) = \frac{AH}{AB}$

По условию задачи, все ребра призмы равны 1, следовательно, $AB = 1$. Длина отрезка $AH$ — это расстояние от точки $A$ до плоскости $BEE_1$.

Призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, значит, её боковое ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Так как прямая $EE_1$ лежит в плоскости $BEE_1$, то плоскость $BEE_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABCDEF$. Линией их пересечения является прямая $BE$. Расстояние от точки $A$ (лежащей в плоскости основания) до плоскости $BEE_1$ равно длине перпендикуляра, опущенного из точки $A$ на прямую $BE$ в плоскости основания.

Рассмотрим основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$ со стороной 1. Найдем расстояние от вершины $A$ до диагонали $BE$. Для этого рассмотрим треугольник $\triangle ABE$.

Сторона $AB$ равна 1.$BE$ — большая диагональ правильного шестиугольника, её длина в два раза больше длины стороны: $BE = 2 \cdot 1 = 2$.$AE$ — малая диагональ. Её длину найдем по теореме косинусов из треугольника $\triangle AFE$, в котором $AF = FE = 1$, а угол $\angle AFE = 120^\circ$.$AE^2 = AF^2 + FE^2 - 2 \cdot AF \cdot FE \cdot \cos(120^\circ) = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot (-\frac{1}{2}) = 1 + 1 + 1 = 3$.Отсюда $AE = \sqrt{3}$.

В треугольнике $\triangle ABE$ известны все стороны: $AB=1$, $AE=\sqrt{3}$, $BE=2$. Проверим, выполняется ли для него теорема Пифагора:$AB^2 + AE^2 = 1^2 + (\sqrt{3})^2 = 1 + 3 = 4$.$BE^2 = 2^2 = 4$.Поскольку $AB^2 + AE^2 = BE^2$, треугольник $\triangle ABE$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$, то есть $\angle BAE = 90^\circ$.

Расстояние от точки $A$ до прямой $BE$ — это высота $AH$ прямоугольного треугольника $\triangle ABE$, проведенная к гипотенузе $BE$. Площадь этого треугольника можно вычислить двумя способами:1. $S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AE = \frac{1}{2} \cdot 1 \cdot \sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.2. $S_{\triangle ABE} = \frac{1}{2} \cdot BE \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot AH = AH$.

Приравнивая два выражения для площади, находим высоту $AH$:$AH = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь мы можем вычислить синус искомого угла $\alpha$:$\sin(\alpha) = \frac{AH}{AB} = \frac{\sqrt{3}/2}{1} = \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Угол между прямой и плоскостью по определению находится в пределах от $0^\circ$ до $90^\circ$. Угол, синус которого равен $\frac{\sqrt{3}}{2}$, в этом диапазоне — это $60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.