Номер 27, страница 125 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

27. В правильной шестиугольной призме $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$, все ребра которой равны 1, найдите расстояние от точки B до прямой $DE$.

Искомое расстояние от точки $B$ до прямой $DE_1$ — это длина перпендикуляра, опущенного из точки $B$ на прямую $DE_1$. Обозначим этот перпендикуляр как $BH$, где $H$ — точка на прямой $DE_1$. Мы ищем длину отрезка $BH$.

Для нахождения этой длины рассмотрим треугольник $BDE_1$. Высота этого треугольника, проведенная из вершины $B$ к стороне $DE_1$, и есть искомое расстояние. Установим вид этого треугольника. Для этого докажем, что он является прямоугольным, а именно, что $\angle BDE_1 = 90^\circ$.

Чтобы доказать перпендикулярность прямых $DB$ и $DE_1$, мы можем показать, что скалярное произведение соответствующих векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$ равно нулю.

Представим вектор $\vec{DE_1}$ как сумму двух векторов: $\vec{DE_1} = \vec{DE} + \vec{EE_1}$. Вектор $\vec{DE}$ лежит в плоскости нижнего основания призмы, а вектор $\vec{EE_1}$ — это вектор бокового ребра.

Тогда скалярное произведение будет равно:
$\vec{DB} \cdot \vec{DE_1} = \vec{DB} \cdot (\vec{DE} + \vec{EE_1}) = \vec{DB} \cdot \vec{DE} + \vec{DB} \cdot \vec{EE_1}$.

По условию, призма $ABCDEFA_1B_1C_1D_1E_1F_1$ — правильная, а значит, она прямая. Это означает, что ее боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. В частности, ребро $EE_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCDEF$. Вектор $\vec{DB}$ полностью лежит в этой плоскости, поэтому векторы $\vec{DB}$ и $\vec{EE_1}$ перпендикулярны. Их скалярное произведение равно нулю: $\vec{DB} \cdot \vec{EE_1} = 0$.

Теперь рассмотрим скалярное произведение векторов $\vec{DB}$ и $\vec{DE}$, которые лежат в плоскости основания. Для этого найдем угол между ними, то есть $\angle BDE$.

Основание призмы — правильный шестиугольник $ABCDEF$. Все внутренние углы правильного шестиугольника равны $(6-2) \cdot 180^\circ / 6 = 120^\circ$. Таким образом, $\angle CDE = 120^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCD$, лежащий в основании. По условию, все ребра призмы равны 1, значит стороны шестиугольника также равны 1. Таким образом, $BC = CD = 1$. Треугольник $BCD$ является равнобедренным, а угол при вершине $\angle BCD = 120^\circ$. Углы при основании этого треугольника равны:
$\angle CDB = \angle CBD = \frac{180^\circ - 120^\circ}{2} = 30^\circ$.

Теперь мы можем найти угол $\angle BDE$, вычитая из угла $\angle CDE$ найденный угол $\angle CDB$:
$\angle BDE = \angle CDE - \angle CDB = 120^\circ - 30^\circ = 90^\circ$.

Так как угол $\angle BDE = 90^\circ$, то векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DE}$ перпендикулярны, и их скалярное произведение также равно нулю: $\vec{DB} \cdot \vec{DE} = 0$.

Возвращаясь к исходному скалярному произведению, получаем:
$\vec{DB} \cdot \vec{DE_1} = \vec{DB} \cdot \vec{DE} + \vec{DB} \cdot \vec{EE_1} = 0 + 0 = 0$.

Нулевое скалярное произведение означает, что векторы $\vec{DB}$ и $\vec{DE_1}$ перпендикулярны, то есть $DB \perp DE_1$.

Это значит, что отрезок $DB$ является перпендикуляром, опущенным из точки $B$ на прямую $DE_1$. Следовательно, искомое расстояние равно длине диагонали $DB$ основания.

Найдем длину $DB$ по теореме косинусов для треугольника $BCD$:
$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$
$BD^2 = 1^2 + 1^2 - 2 \cdot 1 \cdot 1 \cdot \cos(120^\circ) = 1 + 1 - 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = 2 + 1 = 3$.
Отсюда $BD = \sqrt{3}$.

Ответ: $\sqrt{3}$