Номер 20, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

20. В правильном тетраэдре $ABCD$ найдите угол между прямыми $AC$ и $BD$.

Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми в правильном тетраэдре можно использовать несколько методов. Рассмотрим два из них.

Способ 1: Геометрический

Правильный тетраэдр $ABCD$ — это фигура, у которой все грани являются равносторонними треугольниками, и, следовательно, все шесть ребер равны. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$.
Угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ можно найти как угол между пересекающимися прямыми, которые им параллельны.
Пусть $K$, $L$, $M$ и $N$ — середины ребер $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$ соответственно.
Рассмотрим четырехугольник $KLMN$.
Отрезок $KL$ является средней линией треугольника $ABC$. По свойству средней линии, прямая $KL$ параллельна прямой $AC$, а ее длина равна половине длины $AC$: $KL \parallel AC$ и $KL = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
Аналогично, $MN$ — средняя линия треугольника $ADC$, поэтому $MN \parallel AC$ и $MN = \frac{1}{2}AC = \frac{a}{2}$.
Отрезок $LM$ является средней линией треугольника $BCD$. Поэтому $LM \parallel BD$ и $LM = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}$.
Отрезок $NK$ является средней линией треугольника $ABD$. Поэтому $NK \parallel BD$ и $NK = \frac{1}{2}BD = \frac{a}{2}$.
Таким образом, угол между скрещивающимися прямыми $AC$ и $BD$ равен углу между пересекающимися прямыми $KL$ и $LM$.
Мы установили, что все стороны четырехугольника $KLMN$ равны $\frac{a}{2}$, значит, $KLMN$ — ромб.
Найдем длины его диагоналей. Диагональ $KM$ соединяет середины скрещивающихся ребер $AB$ и $CD$. Диагональ $LN$ соединяет середины скрещивающихся ребер $BC$ и $AD$. В правильном тетраэдре расстояния между серединами любых двух скрещивающихся ребер равны. Следовательно, $KM = LN$.
Ромб, у которого диагонали равны, является квадратом.
Значит, четырехугольник $KLMN$ — это квадрат, и все его углы равны $90^\circ$. В частности, угол между сторонами $KL$ и $LM$ равен $90^\circ$.
Следовательно, искомый угол между прямыми $AC$ и $BD$ равен $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.

Способ 2: Векторный

Введем систему координат. Удобно вписать правильный тетраэдр в куб. Пусть ребро куба имеет длину $s$. Выберем четыре вершины куба, не лежащие на одной грани, в качестве вершин тетраэдра. Например:
$A = (s, 0, 0)$
$B = (0, s, 0)$
$C = (0, 0, s)$
$D = (s, s, s)$
Можно проверить, что квадраты длин всех шести ребер этого тетраэдра равны $2s^2$, т.е. все ребра равны $s\sqrt{2}$. Следовательно, тетраэдр $ABCD$ является правильным.
Найдем направляющие векторы для прямых $AC$ и $BD$:
Вектор $\vec{AC}$ имеет координаты: $\vec{AC} = C - A = (0-s, 0-0, s-0) = (-s, 0, s)$.
Вектор $\vec{BD}$ имеет координаты: $\vec{BD} = D - B = (s-0, s-s, s-0) = (s, 0, s)$.
Угол $\alpha$ между прямыми определяется через косинус угла между их направляющими векторами: $\cos\alpha = \frac{|\vec{AC} \cdot \vec{BD}|}{|\vec{AC}| \cdot |\vec{BD}|}$.
Вычислим скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$:
$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = (-s) \cdot s + 0 \cdot 0 + s \cdot s = -s^2 + 0 + s^2 = 0$.
Поскольку скалярное произведение векторов равно нулю, а сами векторы не являются нулевыми, они ортогональны (перпендикулярны).
Следовательно, угол между прямыми $AC$ и $BD$ составляет $90^\circ$.
Ответ: $90^\circ$.