Номер 13, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

13. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$.

14. В кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ найдите угол между прямыми $BA_1$ и $DB$.

13. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $AC_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ воспользуемся методом проекций.

1. Прямая $BA_1$ является диагональю грани $ABB_1A_1$ и полностью лежит в плоскости этой грани.

2. Найдем ортогональную проекцию прямой $AC_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

- Точка $A$ уже находится в плоскости $ABB_1A_1$, поэтому ее проекция совпадает с ней самой.

- Ребро $B_1C_1$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $A_1B_1$ и $BB_1$. Следовательно, точка $B_1$ является ортогональной проекцией точки $C_1$ на эту плоскость.

- Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $AC_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.

3. Угол между скрещивающимися прямыми — это угол между одной из прямых и проекцией другой на плоскость, содержащую первую прямую. Нам нужно найти угол между прямой $BA_1$ и прямой $AB_1$.

4. Обе прямые, $BA_1$ и $AB_1$, являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны. Следовательно, угол между ними равен $90^\circ$.

5. По теореме о трех перпендикулярах, если прямая, лежащая в плоскости (в нашем случае $BA_1$), перпендикулярна проекции наклонной (прямой $AB_1$), то она перпендикулярна и самой наклонной (прямой $AC_1$).

Таким образом, искомый угол между прямыми $BA_1$ и $AC_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.

14. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BA_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ также используем метод проекций.

1. Прямая $BA_1$ лежит в плоскости грани $ABB_1A_1$.

2. Найдем ортогональную проекцию прямой $DB_1$ на плоскость грани $ABB_1A_1$.

- Точка $B_1$ уже находится в плоскости $ABB_1A_1$, поэтому ее проекция — это сама точка $B_1$.

- Ребро $DA$ перпендикулярно плоскости $ABB_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $AB$ и $AA_1$. Следовательно, точка $A$ является ортогональной проекцией точки $D$ на эту плоскость.

- Таким образом, прямая $AB_1$ является проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ABB_1A_1$.

3. Задача сводится к нахождению угла между прямой $BA_1$ и ее проекцией $AB_1$, которые обе лежат в плоскости $ABB_1A_1$.

4. Прямые $BA_1$ и $AB_1$ являются диагоналями квадрата $ABB_1A_1$. Диагонали квадрата перпендикулярны, поэтому угол между ними составляет $90^\circ$.

5. Согласно теореме о трех перпендикулярах, если прямая в плоскости ($BA_1$) перпендикулярна проекции наклонной ($AB_1$), то она перпендикулярна и самой наклонной ($DB_1$).

Следовательно, угол между прямыми $BA_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.