Номер 10, страница 119 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

10. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найдите угол между прямыми $BC_{1}$ и $DB_{1}$.

11. В кубе $ABCDA_{1}B_{1}C_{1}D_{1}$ найдите угол между прямыми $C_{1}$ и $DC$.

10. Для нахождения угла между скрещивающимися прямыми $BC_1$ и $DB_1$ в кубе $ABCDA_1B_1C_1D_1$ можно использовать два основных метода: геометрический (с использованием параллельного переноса и теорем стереометрии) и координатно-векторный. Рассмотрим оба способа.

Способ 1: Геометрический

Углом между скрещивающимися прямыми называется угол между пересекающимися прямыми, которые соответственно параллельны исходным. Идея состоит в том, чтобы выполнить параллельный перенос одной из прямых до пересечения с другой.

1. Докажем, что прямая $BC_1$ параллельна прямой $AD_1$. Рассмотрим векторы, соответствующие этим отрезкам. По правилу сложения векторов для многоугольника имеем: $\vec{BC_1} = \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Аналогично, $\vec{AD_1} = \vec{AD} + \vec{DD_1}$. В кубе противоположные ребра граней параллельны и равны, поэтому векторы, направленные вдоль них, равны: $\vec{BC} = \vec{AD}$ и $\vec{CC_1} = \vec{DD_1}$. Отсюда следует, что $\vec{BC_1} = \vec{AD_1}$. Равенство векторов означает, что отрезки $BC_1$ и $AD_1$ параллельны и равны по длине. Значит, прямые $BC_1$ и $AD_1$ параллельны.

2. Таким образом, искомый угол между прямыми $BC_1$ и $DB_1$ равен углу между прямыми $AD_1$ и $DB_1$.

3. Для нахождения угла между $AD_1$ и $DB_1$ применим теорему о трех перпендикулярах. Рассмотрим плоскость грани $ADD_1A_1$, в которой лежит прямая $AD_1$. Спроектируем прямую $DB_1$ (которая является наклонной к этой плоскости) на плоскость $ADD_1A_1$.

4. Проекцией точки $D$ на плоскость $ADD_1A_1$ является сама точка $D$. Ребро $A_1B_1$ перпендикулярно плоскости $ADD_1A_1$, так как оно перпендикулярно двум пересекающимся прямым в этой плоскости: $A_1A$ и $A_1D_1$. Следовательно, проекцией точки $B_1$ на эту плоскость является точка $A_1$.

5. Значит, проекцией прямой $DB_1$ на плоскость $ADD_1A_1$ является прямая $DA_1$.

6. Прямые $AD_1$ и $DA_1$ — это диагонали грани $ADD_1A_1$, которая является квадратом. Диагонали квадрата взаимно перпендикулярны, поэтому $AD_1 \perp DA_1$.

7. Согласно обратной теореме о трех перпендикулярах, если проекция наклонной на плоскость ($DA_1$) перпендикулярна некоторой прямой, лежащей в этой плоскости ($AD_1$), то и сама наклонная ($DB_1$) перпендикулярна этой прямой. Из того, что $DA_1 \perp AD_1$, следует, что $DB_1 \perp AD_1$.

8. Угол между прямыми $AD_1$ и $DB_1$ равен $90^\circ$. Так как $BC_1 \parallel AD_1$, то искомый угол между $BC_1$ и $DB_1$ также равен $90^\circ$.

Способ 2: Координатно-векторный

1. Введем правую прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ — вдоль $AB$, ось $Oy$ — вдоль $AD$, ось $Oz$ — вдоль $AA_1$. Пусть длина ребра куба равна $a$.

2. Запишем координаты вершин, необходимых для решения задачи: $B(a,0,0)$, $C_1(a,a,a)$, $D(0,a,0)$ и $B_1(a,0,a)$.

3. Найдем направляющие векторы для прямых $BC_1$ и $DB_1$.Направляющий вектор для прямой $BC_1$: $\vec{v_1} = \vec{BC_1} = (a-a, a-0, a-0) = (0, a, a)$.Направляющий вектор для прямой $DB_1$: $\vec{v_2} = \vec{DB_1} = (a-0, 0-a, a-0) = (a, -a, a)$.

4. Угол $\theta$ между прямыми можно найти через косинус угла между их направляющими векторами по формуле: $\cos\theta = \frac{|\vec{v_1} \cdot \vec{v_2}|}{|\vec{v_1}| \cdot |\vec{v_2}|}$.

5. Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{v_1} \cdot \vec{v_2} = (0 \cdot a) + (a \cdot (-a)) + (a \cdot a) = 0 - a^2 + a^2 = 0$.

6. Так как скалярное произведение векторов равно нулю, это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны). Следовательно, $\cos\theta = 0$, и угол $\theta$ между прямыми равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.