Страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Вопросы

1. Что называется координатами вектора?

2. Какие векторы называются координатными векторами?

3. Как выражается длина вектора через его координаты?

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?

6. Как определяется скалярное произведение векторов?

7. Что называется скалярным квадратом вектора?

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?

1. Что называется координатами вектора?
Координатами вектора в определенной системе координат (базисе) называют коэффициенты, с которыми нужно сложить базисные векторы, чтобы получить данный вектор. В прямоугольной декартовой системе координат с ортами (единичными векторами осей) $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ любой вектор $\vec{a}$ можно представить в виде суммы $\vec{a} = a_x\vec{i} + a_y\vec{j} + a_z\vec{k}$. Числа $a_x, a_y, a_z$ и являются координатами вектора $\vec{a}$ и записываются как $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$. Геометрически эти числа являются проекциями вектора на соответствующие координатные оси. Если вектор задан координатами своего начала $A(x_1, y_1, z_1)$ и конца $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты вычисляются как разность координат конца и начала: $\vec{AB} = \{x_2 - x_1; y_2 - y_1; z_2 - z_1\}$.
Ответ: Координатами вектора называются коэффициенты его разложения по базисным векторам, которые численно равны проекциям вектора на координатные оси.

2. Какие векторы называются координатными векторами?
Координатными векторами (или ортами) в прямоугольной декартовой системе координат называются три взаимно перпендикулярных единичных вектора, направление каждого из которых совпадает с положительным направлением одной из осей координат. Для трехмерного пространства их обычно обозначают $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Вектор $\vec{i}$ сонаправлен с осью абсцисс (Ox), вектор $\vec{j}$ — с осью ординат (Oy), а вектор $\vec{k}$ — с осью аппликат (Oz). Длины этих векторов равны единице: $|\vec{i}| = |\vec{j}| = |\vec{k}| = 1$. Их координаты: $\vec{i}=\{1; 0; 0\}$, $\vec{j}=\{0; 1; 0\}$, $\vec{k}=\{0; 0; 1\}$.
Ответ: Координатными векторами (ортами) называются единичные векторы, направления которых совпадают с положительными направлениями осей координат.

3. Как выражается длина вектора через его координаты?
Длина (или модуль) вектора $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ вычисляется как квадратный корень из суммы квадратов его координат. Эта формула является обобщением теоремы Пифагора на трехмерное пространство. Для вектора на плоскости с координатами $\vec{a} = \{a_x; a_y\}$ формула аналогична: $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2}$.
Ответ: Длина вектора $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ выражается формулой $|\vec{a}| = \sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2}$.

4. Как выражается длина вектора через координаты его начала и конца?
Если вектор $\vec{AB}$ задан координатами своего начала $A(x_1; y_1; z_1)$ и конца $B(x_2; y_2; z_2)$, то сначала нужно найти координаты самого вектора: $\vec{AB} = \{x_2-x_1; y_2-y_1; z_2-z_1\}$. Затем, используя формулу длины вектора через его координаты, получаем формулу для длины вектора $\vec{AB}$. Эта формула совпадает с формулой расстояния между двумя точками в пространстве.
Ответ: Длина вектора $\vec{AB}$ с началом в точке $A(x_1; y_1; z_1)$ и концом в точке $B(x_2; y_2; z_2)$ выражается формулой $|\vec{AB}| = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

5. Как обозначается скалярное произведение векторов?
Скалярное произведение двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ является числом (скаляром). Для его обозначения чаще всего используется точка между векторами, по аналогии со знаком умножения. Также иногда используются круглые скобки.
Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ обозначается как $\vec{a} \cdot \vec{b}$ или $(\vec{a}, \vec{b})$.

6. Как определяется скалярное произведение векторов?
Геометрическое определение скалярного произведения связывает его с длинами векторов и углом между ними. Скалярным произведением двух ненулевых векторов называется произведение их длин на косинус угла между ними. Если хотя бы один из векторов нулевой, то их скалярное произведение считается равным нулю.
Ответ: Скалярное произведение двух ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ определяется как число, равное произведению их длин (модулей) на косинус угла $\theta$ между ними: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta$.

7. Что называется скалярным квадратом вектора?
Скалярный квадрат вектора — это частный случай скалярного произведения, когда вектор умножается сам на себя. Применяя определение скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{a}$, получаем, что угол между вектором и им же самим равен нулю, а косинус нуля равен единице. Таким образом, $\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}| |\vec{a}| \cos(0) = |\vec{a}|^2$. Скалярный квадрат вектора обозначается как $\vec{a}^2$.
Ответ: Скалярным квадратом вектора $\vec{a}$ называется скалярное произведение этого вектора на самого себя ($\vec{a}^2 = \vec{a} \cdot \vec{a}$), которое равно квадрату его длины: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$.

8. Как выражается скалярное произведение векторов через их координаты?
Алгебраическое определение скалярного произведения выражает его через координаты векторов-сомножителей в прямоугольной декартовой системе координат. Оно вычисляется как сумма произведений соответствующих координат векторов.
Ответ: Скалярное произведение векторов $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ выражается формулой $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$.

9. Как выражается угол между векторами через их координаты?
Для нахождения угла между векторами можно приравнять геометрическое и алгебраическое определения скалярного произведения: $|\vec{a}| |\vec{b}| \cos\theta = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$. Из этого равенства можно выразить косинус угла $\theta$. Длины векторов $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ также выражаются через их координаты.
Ответ: Косинус угла $\theta$ между ненулевыми векторами $\vec{a} = \{a_x; a_y; a_z\}$ и $\vec{b} = \{b_x; b_y; b_z\}$ выражается через их координаты формулой: $\cos\theta = \frac{a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z}{\sqrt{a_x^2 + a_y^2 + a_z^2} \cdot \sqrt{b_x^2 + b_y^2 + b_z^2}}$.

23.1. Найдите координаты векторов:

а) $\vec{a} = -2\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}$;

б) $\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{k}$;

в) $\vec{c} = -3\vec{j} + \vec{k}$;

г) $\vec{d} = 5\vec{i} - 4\vec{k}$.

Координатами вектора в прямоугольной системе координат являются коэффициенты в его разложении по базисным векторам $\vec{i}$, $\vec{j}$ и $\vec{k}$. Общий вид разложения вектора $\vec{v}$ по базису: $\vec{v} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $x$, $y$, $z$ – это его координаты. Соответственно, запись координат вектора: $\vec{v} = \{x; y; z\}$. Если в разложении вектора отсутствует какой-либо базисный вектор, его соответствующая координата равна нулю.

а) Для вектора $\vec{a} = -2\vec{i} + 6\vec{j} + \vec{k}$.
Коэффициент при $\vec{i}$ (координата по оси x) равен -2.
Коэффициент при $\vec{j}$ (координата по оси y) равен 6.
Коэффициент при $\vec{k}$ (координата по оси z) равен 1.
Следовательно, координаты вектора $\vec{a}$ это $\{-2; 6; 1\}$.
Ответ: $\{-2; 6; 1\}$

б) Для вектора $\vec{b} = \vec{i} + 2\vec{k}$.
Коэффициент при $\vec{i}$ равен 1.
В разложении отсутствует $\vec{j}$, значит, его коэффициент равен 0.
Коэффициент при $\vec{k}$ равен 2.
Следовательно, координаты вектора $\vec{b}$ это $\{1; 0; 2\}$.
Ответ: $\{1; 0; 2\}$

в) Для вектора $\vec{c} = -3\vec{j} + \vec{k}$.
В разложении отсутствует $\vec{i}$, значит, его коэффициент равен 0.
Коэффициент при $\vec{j}$ равен -3.
Коэффициент при $\vec{k}$ равен 1.
Следовательно, координаты вектора $\vec{c}$ это $\{0; -3; 1\}$.
Ответ: $\{0; -3; 1\}$

г) Для вектора $\vec{d} = 5\vec{i} - 4\vec{k}$ (в условии, вероятно, опечатка, и вместо $\vec{a}$ имеется в виду $\vec{d}$).
Коэффициент при $\vec{i}$ равен 5.
В разложении отсутствует $\vec{j}$, значит, его коэффициент равен 0.
Коэффициент при $\vec{k}$ равен -4.
Следовательно, координаты вектора $\vec{d}$ это $\{5; 0; -4\}$.
Ответ: $\{5; 0; -4\}$

23.2. Найдите координаты вектора $ \vec{AB} $, если:

а) A(2; -3; 4), B(-5; 2; -6);

б) A(1; 3; -4), B(6; -5; -8);

в) A(-3; 1; -10), B(5; 2; -1).

Для нахождения координат вектора $\vec{AB}$ необходимо из координат его конечной точки B вычесть соответствующие координаты его начальной точки A. Если точка A имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$, а точка B имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$, то координаты вектора $\vec{AB}$ находятся по формуле:

$\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$

а)

Даны координаты точек: $A(2; -3; 4)$ и $B(-5; 2; -6)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки B соответствующие координаты точки A:

$x_{AB} = -5 - 2 = -7$

$y_{AB} = 2 - (-3) = 2 + 3 = 5$

$z_{AB} = -6 - 4 = -10$

Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(-7; 5; -10)$.

Ответ: $\vec{AB}(-7; 5; -10)$.

б)

Даны координаты точек: $A(1; 3; -4)$ и $B(6; -5; -8)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки B соответствующие координаты точки A:

$x_{AB} = 6 - 1 = 5$

$y_{AB} = -5 - 3 = -8$

$z_{AB} = -8 - (-4) = -8 + 4 = -4$

Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(5; -8; -4)$.

Ответ: $\vec{AB}(5; -8; -4)$.

в)

Даны координаты точек: $A(-3; 1; -10)$ и $B(5; 2; -1)$.

Найдем координаты вектора $\vec{AB}$, вычитая из координат точки B соответствующие координаты точки A:

$x_{AB} = 5 - (-3) = 5 + 3 = 8$

$y_{AB} = 2 - 1 = 1$

$z_{AB} = -1 - (-10) = -1 + 10 = 9$

Следовательно, координаты вектора $\vec{AB}$ равны $(8; 1; 9)$.

Ответ: $\vec{AB}(8; 1; 9)$.

23.3. Вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b; c)$. Найдите координаты вектора $\vec{BA}$.

Векторы $\vec{AB}$ и $\vec{BA}$ являются противоположными. Это означает, что они имеют одинаковую длину (модуль), но направлены в противоположные стороны. Математически это соотношение выражается формулой: $\vec{BA} = -\vec{AB}$.

Чтобы найти координаты вектора, противоположного данному вектору, необходимо изменить знак каждой из координат исходного вектора на противоположный.

По условию задачи, вектор $\vec{AB}$ имеет координаты $(a; b; c)$.

Следовательно, для нахождения координат вектора $\vec{BA}$, мы меняем знаки у координат вектора $\vec{AB}$: $\vec{BA} = (-a; -b; -c)$.

Обоснование через координаты точек:
Пусть точка A имеет координаты $(x_A; y_A; z_A)$, а точка B имеет координаты $(x_B; y_B; z_B)$.
Тогда координаты вектора $\vec{AB}$ вычисляются по формуле: $\vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A)$. По условию, это $(a; b; c)$.
Координаты вектора $\vec{BA}$ вычисляются как: $\vec{BA} = (x_A - x_B; y_A - y_B; z_A - z_B)$.
Выразим каждую координату вектора $\vec{BA}$ через координаты вектора $\vec{AB}$:
$x_A - x_B = -(x_B - x_A) = -a$
$y_A - y_B = -(y_B - y_A) = -b$
$z_A - z_B = -(z_B - z_A) = -c$
Таким образом, координаты вектора $\vec{BA}$ равны $(-a; -b; -c)$.

Ответ: $(-a; -b; -c)$.

23.4. Векторы $\vec{a}_1(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a}_2(x_2; y_2; z_2)$ коллинеарны. Как связаны между собой их координаты?

По определению, два вектора $\vec{a_1}(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{a_2}(x_2; y_2; z_2)$ являются коллинеарными, если существует такое действительное число $k$ (коэффициент пропорциональности), что выполняется векторное равенство:

$\vec{a_2} = k \cdot \vec{a_1}$

Это равенство означает, что один вектор может быть получен из другого путем умножения на скаляр.

Запишем данное векторное равенство в координатной форме. Умножение вектора на число означает умножение каждой его координаты на это число:

$(x_2; y_2; z_2) = (k \cdot x_1; k \cdot y_1; k \cdot z_1)$

Два вектора равны тогда и только тогда, когда равны их соответствующие координаты. Следовательно, мы можем записать систему из трех уравнений, которые связывают координаты векторов $\vec{a_1}$ и $\vec{a_2}$:

$x_2 = kx_1$
$y_2 = ky_1$
$z_2 = kz_1$

Эта система уравнений показывает, что соответствующие координаты коллинеарных векторов пропорциональны.

Если все координаты вектора $\vec{a_1}$ не равны нулю (то есть $x_1 \neq 0$, $y_1 \neq 0$, $z_1 \neq 0$), то из каждого уравнения можно выразить коэффициент $k$ и составить пропорцию:

$\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1} = k$

Это и есть условие коллинеарности векторов, выраженное через их координаты.

Следует учесть случай, когда одна или несколько координат вектора $\vec{a_1}$ равны нулю. Например, если $x_1 = 0$, то из равенства $x_2 = kx_1$ следует, что и $x_2$ также должен быть равен нулю. В этом случае формальная запись дроби $\frac{x_2}{x_1}$ некорректна, но условие пропорциональности по-прежнему считается выполненным (если знаменатель дроби в пропорции равен нулю, то и соответствующий числитель тоже должен быть равен нулю).

Ответ: Координаты коллинеарных векторов пропорциональны. Это означает, что существует такое число $k$, что выполняются равенства: $x_2 = kx_1$, $y_2 = ky_1$, $z_2 = kz_1$. Если координаты первого вектора не равны нулю, эту связь можно записать в виде пропорции: $\frac{x_2}{x_1} = \frac{y_2}{y_1} = \frac{z_2}{z_1}$.

23.5. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 4, DA = 3, DD_1 = 2$ (рис. 23.5). Найдите координаты век-тора:

а) $\vec{DB}$;

б) $\vec{DA_1}$;

в) $\vec{DC_1}$;

г) $\vec{DB_1}$;

д) $\vec{AB}$;

е) $\vec{AC}$;

ж) $\vec{AB_1}$;

з) $\vec{AD_1}$;

и) $\vec{AC_1}$.

Рис. 23.5

Для решения задачи сначала определим координаты всех вершин прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По условию задачи, вершина $D$ — начало координат, следовательно, ее координаты $D(0, 0, 0)$. Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$, ребро $DA$ — на оси $Oy$, а ребро $DD_1$ — на оси $Oz$. Длины ребер равны $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

Исходя из этого, координаты вершин будут следующими:

• $A$ лежит на оси $Oy$: $A(0, 3, 0)$
• $C$ лежит на оси $Ox$: $C(4, 0, 0)$
• $D_1$ лежит на оси $Oz$: $D_1(0, 0, 2)$
• $B$ лежит в плоскости $xy$: $B(4, 3, 0)$
• $A_1$ лежит в плоскости $yz$: $A_1(0, 3, 2)$
• $C_1$ лежит в плоскости $xz$: $C_1(4, 0, 2)$
• $B_1$ является вершиной, противоположной $D$: $B_1(4, 3, 2)$

Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M, y_M, z_M)$ и концом в точке $N(x_N, y_N, z_N)$ находятся по формуле: $\vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)$.

а) Найдем координаты вектора $\vec{DB}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $B(4, 3, 0)$.
$\vec{DB} = (4 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (4, 3, 0)$.
Ответ: $\vec{DB}=(4, 3, 0)$.

б) Найдем координаты вектора $\vec{DA_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $A_1(0, 3, 2)$.
$\vec{DA_1} = (0 - 0, 3 - 0, 2 - 0) = (0, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{DA_1}=(0, 3, 2)$.

в) Найдем координаты вектора $\vec{DC_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $C_1(4, 0, 2)$.
$\vec{DC_1} = (4 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (4, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{DC_1}=(4, 0, 2)$.

г) Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $B_1(4, 3, 2)$.
$\vec{DB_1} = (4 - 0, 3 - 0, 2 - 0) = (4, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{DB_1}=(4, 3, 2)$.

д) Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $B(4, 3, 0)$.
$\vec{AB} = (4 - 0, 3 - 3, 0 - 0) = (4, 0, 0)$.
Ответ: $\vec{AB}=(4, 0, 0)$.

е) Найдем координаты вектора $\vec{AC}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $C(4, 0, 0)$.
$\vec{AC} = (4 - 0, 0 - 3, 0 - 0) = (4, -3, 0)$.
Ответ: $\vec{AC}=(4, -3, 0)$.

ж) Найдем координаты вектора $\vec{AB_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $B_1(4, 3, 2)$.
$\vec{AB_1} = (4 - 0, 3 - 3, 2 - 0) = (4, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{AB_1}=(4, 0, 2)$.

з) Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $D_1(0, 0, 2)$.
$\vec{AD_1} = (0 - 0, 0 - 3, 2 - 0) = (0, -3, 2)$.
Ответ: $\vec{AD_1}=(0, -3, 2)$.

и) Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $C_1(4, 0, 2)$.
$\vec{AC_1} = (4 - 0, 0 - 3, 2 - 0) = (4, -3, 2)$.
Ответ: $\vec{AC_1}=(4, -3, 2)$.