Номер 23.5, страница 113 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

23.5. В прямоугольном параллелепипеде $ABCD A_1 B_1 C_1 D_1$ вершина $D$ — начало координат, ребра $DC, DA, DD_1$ лежат на осях координат $Ox, Oy, Oz$ соответственно и $DC = 4, DA = 3, DD_1 = 2$ (рис. 23.5). Найдите координаты век-тора:

а) $\vec{DB}$;

б) $\vec{DA_1}$;

в) $\vec{DC_1}$;

г) $\vec{DB_1}$;

д) $\vec{AB}$;

е) $\vec{AC}$;

ж) $\vec{AB_1}$;

з) $\vec{AD_1}$;

и) $\vec{AC_1}$.

Рис. 23.5

Для решения задачи сначала определим координаты всех вершин прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$.

По условию задачи, вершина $D$ — начало координат, следовательно, ее координаты $D(0, 0, 0)$. Ребро $DC$ лежит на оси $Ox$, ребро $DA$ — на оси $Oy$, а ребро $DD_1$ — на оси $Oz$. Длины ребер равны $DC = 4$, $DA = 3$, $DD_1 = 2$.

Исходя из этого, координаты вершин будут следующими:

• $A$ лежит на оси $Oy$: $A(0, 3, 0)$
• $C$ лежит на оси $Ox$: $C(4, 0, 0)$
• $D_1$ лежит на оси $Oz$: $D_1(0, 0, 2)$
• $B$ лежит в плоскости $xy$: $B(4, 3, 0)$
• $A_1$ лежит в плоскости $yz$: $A_1(0, 3, 2)$
• $C_1$ лежит в плоскости $xz$: $C_1(4, 0, 2)$
• $B_1$ является вершиной, противоположной $D$: $B_1(4, 3, 2)$

Координаты вектора $\vec{MN}$ с началом в точке $M(x_M, y_M, z_M)$ и концом в точке $N(x_N, y_N, z_N)$ находятся по формуле: $\vec{MN} = (x_N - x_M, y_N - y_M, z_N - z_M)$.

а) Найдем координаты вектора $\vec{DB}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $B(4, 3, 0)$.
$\vec{DB} = (4 - 0, 3 - 0, 0 - 0) = (4, 3, 0)$.
Ответ: $\vec{DB}=(4, 3, 0)$.

б) Найдем координаты вектора $\vec{DA_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $A_1(0, 3, 2)$.
$\vec{DA_1} = (0 - 0, 3 - 0, 2 - 0) = (0, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{DA_1}=(0, 3, 2)$.

в) Найдем координаты вектора $\vec{DC_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $C_1(4, 0, 2)$.
$\vec{DC_1} = (4 - 0, 0 - 0, 2 - 0) = (4, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{DC_1}=(4, 0, 2)$.

г) Найдем координаты вектора $\vec{DB_1}$.
Начало вектора — точка $D(0, 0, 0)$, конец — точка $B_1(4, 3, 2)$.
$\vec{DB_1} = (4 - 0, 3 - 0, 2 - 0) = (4, 3, 2)$.
Ответ: $\vec{DB_1}=(4, 3, 2)$.

д) Найдем координаты вектора $\vec{AB}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $B(4, 3, 0)$.
$\vec{AB} = (4 - 0, 3 - 3, 0 - 0) = (4, 0, 0)$.
Ответ: $\vec{AB}=(4, 0, 0)$.

е) Найдем координаты вектора $\vec{AC}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $C(4, 0, 0)$.
$\vec{AC} = (4 - 0, 0 - 3, 0 - 0) = (4, -3, 0)$.
Ответ: $\vec{AC}=(4, -3, 0)$.

ж) Найдем координаты вектора $\vec{AB_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $B_1(4, 3, 2)$.
$\vec{AB_1} = (4 - 0, 3 - 3, 2 - 0) = (4, 0, 2)$.
Ответ: $\vec{AB_1}=(4, 0, 2)$.

з) Найдем координаты вектора $\vec{AD_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $D_1(0, 0, 2)$.
$\vec{AD_1} = (0 - 0, 0 - 3, 2 - 0) = (0, -3, 2)$.
Ответ: $\vec{AD_1}=(0, -3, 2)$.

и) Найдем координаты вектора $\vec{AC_1}$.
Начало вектора — точка $A(0, 3, 0)$, конец — точка $C_1(4, 0, 2)$.
$\vec{AC_1} = (4 - 0, 0 - 3, 2 - 0) = (4, -3, 2)$.
Ответ: $\vec{AC_1}=(4, -3, 2)$.