Страница 111 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

22.10. По аналогии с определением понятия координат вектора на координатной плоскости попробуйте определить понятие координат вектора в координатном пространстве.

Для определения понятия координат вектора в координатном пространстве воспользуемся аналогией с определением координат вектора на координатной плоскости. Напомним, что на плоскости в системе координат $Oxy$ любой вектор $\vec{a}$ можно единственным образом разложить по двум единичным взаимно перпендикулярным векторам (ортам) $\vec{i}$ и $\vec{j}$: $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j}$. Коэффициенты $x$ и $y$ в этом разложении и являются координатами вектора $\vec{a}$ на плоскости, что записывается как $\vec{a}(x, y)$.

Перенесем этот принцип в трехмерное пространство. Введем прямоугольную (декартову) систему координат $Oxyz$, состоящую из трех взаимно перпендикулярных осей: $Ox$ (ось абсцисс), $Oy$ (ось ординат) и $Oz$ (ось аппликат), пересекающихся в точке $O$ (начало координат).

На положительных направлениях каждой из осей отложим единичные векторы, которые называют координатными векторами или ортами:
• вектор $\vec{i}$, сонаправленный с осью $Ox$;
• вектор $\vec{j}$, сонаправленный с осью $Oy$;
• вектор $\vec{k}$, сонаправленный с осью $Oz$.

Любой вектор $\vec{a}$ в пространстве можно единственным образом представить как сумму произведений этих ортов на некоторые числа $x, y, z$. Такое представление называется разложением вектора по координатным векторам:$ \vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k} $

Числа $x, y, z$ в этом разложении и есть координаты вектора в пространстве. Таким образом, можно дать следующее определение.

Координатами вектора $\vec{a}$ в пространстве называется упорядоченная тройка чисел $(x, y, z)$ в его разложении по координатным векторам $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$. Координаты принято записывать в скобках после обозначения вектора: $\vec{a}(x, y, z)$.

Также, по аналогии с плоскостью, координаты вектора можно определить через координаты его начальной и конечной точек. Если вектор $\vec{a}$ задан начальной точкой $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точкой $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты находятся как разность соответствующих координат конца и начала вектора:$ \vec{a} = (x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1) $

Отсюда следует, что координаты вектора, отложенного от начала координат $O(0, 0, 0)$ до точки $M(x_M, y_M, z_M)$, совпадают с координатами точки $M$. Такой вектор называется радиус-вектором точки $M$.

Ответ: Координатами вектора $\vec{a}$ в прямоугольной системе координат в пространстве называется упорядоченная тройка чисел $(x, y, z)$ такая, что выполняется равенство $\vec{a} = x\vec{i} + y\vec{j} + z\vec{k}$, где $\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}$ — единичные векторы, сонаправленные с осями $Ox, Oy, Oz$ соответственно. Если вектор задан координатами своей начальной точки $A(x_1, y_1, z_1)$ и конечной точки $B(x_2, y_2, z_2)$, то его координаты равны $(x_2 - x_1, y_2 - y_1, z_2 - z_1)$.

Докажите самостоятельно, что при умножении вектора на число его координаты умножаются на это число.

Доказательство

Пусть дан ненулевой вектор $\vec{a}$ и число $k$. Необходимо доказать, что если вектор $\vec{a}$ имеет координаты $\{x; y\}$, то вектор $\vec{b} = k\vec{a}$ имеет координаты $\{kx; ky\}$.

Рассмотрим прямоугольную систему координат $Oxy$. Отложим вектор $\vec{a}$ от начала координат, точки $O(0, 0)$. Тогда его конец будет находиться в точке $A$ с координатами $(x, y)$. Таким образом, $\vec{a} = \vec{OA} = \{x; y\}$.

Аналогично, отложим вектор $\vec{b} = k\vec{a}$ от начала координат. Пусть его конец находится в точке $B$ с координатами $(x_1, y_1)$. Тогда $\vec{b} = \vec{OB} = \{x_1; y_1\}$. Наша задача — выразить $x_1$ и $y_1$ через $x, y$ и $k$.

По определению умножения вектора на число, вектор $\vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$. Поскольку оба вектора отложены от одной и той же точки $O$, точки $O$, $A$ и $B$ лежат на одной прямой. Также, по определению, длина вектора $\vec{b}$ связана с длиной вектора $\vec{a}$ соотношением $|\vec{b}| = |k| \cdot |\vec{a}|$.

Опустим перпендикуляры из точек $A$ и $B$ на ось абсцисс $Ox$. Обозначим их основания как $A_x$ и $B_x$. Мы получим два прямоугольных треугольника: $\triangle OAA_x$ и $\triangle OBB_x$. Эти треугольники подобны по острому углу (общий угол при вершине $O$, если точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно оси Oy, или смежные углы, синусы которых равны, и прямые углы при вершинах $A_x$ и $B_x$).

Из подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон: $ \frac{|OB|}{|OA|} = \frac{|OB_x|}{|OA_x|} = \frac{|BB_x|}{|AA_x|} $

Длины гипотенуз — это длины векторов: $|OA| = |\vec{a}|$ и $|OB| = |\vec{b}| = |k||\vec{a}|$.
Длины катетов, лежащих на оси $Ox$, — это модули абсцисс: $|OA_x| = |x|$ и $|OB_x| = |x_1|$.
Длины катетов, перпендикулярных оси $Ox$, — это модули ординат: $|AA_x| = |y|$ и $|BB_x| = |y_1|$.

Подставим эти выражения в пропорцию: $ \frac{|k||\vec{a}|}{|\vec{a}|} = \frac{|x_1|}{|x|} = \frac{|y_1|}{|y|} $

Сократив $|\vec{a}|$ (так как мы предположили, что вектор $\vec{a}$ ненулевой), получаем: $ |k| = \frac{|x_1|}{|x|} $ и $ |k| = \frac{|y_1|}{|y|} $ Отсюда следует, что $|x_1| = |k||x| = |kx|$ и $|y_1| = |k||y| = |ky|$.

Теперь проанализируем знаки координат.

1. Если $k > 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ сонаправлены. Это означает, что точка $B$ лежит на луче $OA$, и знаки координат у точек $A(x,y)$ и $B(x_1, y_1)$ совпадают. Поскольку знаки совпадают, из $|x_1| = k|x|$ и $|y_1| = k|y|$ следует, что $x_1 = kx$ и $y_1 = ky$.

2. Если $k < 0$, то векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ направлены противоположно. Это означает, что точка $A$ лежит на луче $OB$, а точка $B$ — на луче, дополнительном к $OA$. Знаки координат у точек $A(x,y)$ и $B(x_1, y_1)$ противоположны. Поскольку $k$ — отрицательное число, равенства $x_1 = kx$ и $y_1 = ky$ как раз и обеспечивают смену знака. Например, если $x>0$ и $k<0$, то $x_1=kx<0$. Таким образом, и в этом случае $x_1 = kx$ и $y_1 = ky$.

3. Если $k = 0$, то $\vec{b} = 0 \cdot \vec{a} = \vec{0}$ (нулевой вектор), его координаты $\{0; 0\}$. Формула дает $\{0 \cdot x; 0 \cdot y\} = \{0; 0\}$, что также верно.

4. Если $\vec{a} = \vec{0}$, то его координаты $\{0; 0\}$. Тогда $k\vec{a} = \vec{0}$, и его координаты тоже $\{0; 0\}$. Формула дает $\{k \cdot 0; k \cdot 0\} = \{0; 0\}$, что верно.

Следовательно, во всех случаях координаты вектора $k\vec{a}$ равны $\{kx; ky\}$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что при умножении вектора $\vec{a}=\{x;y\}$ на число $k$ получается вектор, каждая координата которого равна произведению соответствующей координаты исходного вектора на это число, то есть $k\vec{a}=\{kx;ky\}$.