Страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

21.1. В прямоугольной системе координат в пространстве изобразите точки с координатами: $(1; 2; 3)$, $(2; -1; 1)$, $(-1; 3; 2)$.

(1; 2; 3)

Чтобы изобразить точку $A(1; 2; 3)$ в прямоугольной системе координат $Oxyz$, необходимо выполнить следующие шаги:

1. На оси абсцисс ($Ox$) отложить от начала координат $O(0; 0; 0)$ отрезок длиной 1 в положительном направлении. Получим точку $P_x(1; 0; 0)$.

2. Из точки $P_x$ провести прямую, параллельную оси ординат ($Oy$), и отложить на ней в положительном направлении отрезок длиной 2. Получим точку $P_{xy}(1; 2; 0)$ в плоскости $Oxy$.

3. Из точки $P_{xy}$ провести прямую, параллельную оси аппликат ($Oz$), и отложить на ней в положительном направлении отрезок длиной 3. Полученная точка и будет искомой точкой $A(1; 2; 3)$.

Для наглядности построения можно изобразить прямоугольный параллелепипед, одна из вершин которого находится в начале координат, а противоположная ей вершина — в точке $A(1; 2; 3)$.

Ответ: Точка $A(1; 2; 3)$ построена. Она является вершиной прямоугольного параллелепипеда, заданного смещениями на 1 по оси $Ox$, 2 по оси $Oy$ и 3 по оси $Oz$ от начала координат.

(2; -1; 1)

Чтобы изобразить точку $B(2; -1; 1)$ в системе координат $Oxyz$, необходимо:

1. На оси абсцисс ($Ox$) отложить от начала координат отрезок длиной 2 в положительном направлении, получив точку $P_x(2; 0; 0)$.

2. Из точки $P_x$ провести прямую, параллельную оси ординат ($Oy$), и отложить на ней в отрицательном направлении отрезок длиной 1 (так как координата $y = -1$). Получим точку $P_{xy}(2; -1; 0)$.

3. Из точки $P_{xy}$ провести прямую, параллельную оси аппликат ($Oz$), и отложить на ней в положительном направлении отрезок длиной 1. Полученная точка и будет искомой точкой $B(2; -1; 1)$.

Ответ: Точка $B(2; -1; 1)$ построена. Она находится в пространстве, смещенная на 2 единицы в положительном направлении оси $x$, на 1 единицу в отрицательном направлении оси $y$ и на 1 единицу в положительном направлении оси $z$ относительно начала координат.

(-1; 3; 2)

Чтобы изобразить точку $C(-1; 3; 2)$ в системе координат $Oxyz$, необходимо:

1. На оси абсцисс ($Ox$) отложить от начала координат отрезок длиной 1 в отрицательном направлении (так как координата $x = -1$), получив точку $P_x(-1; 0; 0)$.

2. Из точки $P_x$ провести прямую, параллельную оси ординат ($Oy$), и отложить на ней в положительном направлении отрезок длиной 3. Получим точку $P_{xy}(-1; 3; 0)$.

3. Из точки $P_{xy}$ провести прямую, параллельную оси аппликат ($Oz$), и отложить на ней в положительном направлении отрезок длиной 2. Полученная точка и будет искомой точкой $C(-1; 3; 2)$.

Ответ: Точка $C(-1; 3; 2)$ построена. Она находится в пространстве, смещенная на 1 единицу в отрицательном направлении оси $x$, на 3 единицы в положительном направлении оси $y$ и на 2 единицы в положительном направлении оси $z$ относительно начала координат.

21.2. Найдите координаты ортогональных проекций точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость:

а) $Oxy$;

б) $Oxz$;

в) $Oyz$.

Ортогональная проекция точки на координатную плоскость — это основание перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость. При проецировании точки на одну из координатных плоскостей, координата, соответствующая оси, перпендикулярной этой плоскости, становится равной нулю, а две другие координаты остаются без изменений.

a) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oxy$.
Плоскость $Oxy$ задается уравнением $z = 0$. Ось $Oz$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oxy$, необходимо ее координату $z$ приравнять к нулю, а координаты $x$ и $y$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{xy}$ на плоскость $Oxy$ будет иметь координаты $(1; 3; 0)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{xy}$ на плоскость $Oxy$ будет иметь координаты $(5; -6; 0)$.
Ответ: $A_{xy}(1; 3; 0)$ и $B_{xy}(5; -6; 0)$.

б) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oxz$.
Плоскость $Oxz$ задается уравнением $y = 0$. Ось $Oy$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oxz$, необходимо ее координату $y$ приравнять к нулю, а координаты $x$ и $z$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{xz}$ на плоскость $Oxz$ будет иметь координаты $(1; 0; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{xz}$ на плоскость $Oxz$ будет иметь координаты $(5; 0; 2)$.
Ответ: $A_{xz}(1; 0; 4)$ и $B_{xz}(5; 0; 2)$.

в) Найдем проекции точек $A(1; 3; 4)$ и $B(5; -6; 2)$ на плоскость $Oyz$.
Плоскость $Oyz$ задается уравнением $x = 0$. Ось $Ox$ перпендикулярна этой плоскости. Следовательно, для нахождения ортогональной проекции любой точки на плоскость $Oyz$, необходимо ее координату $x$ приравнять к нулю, а координаты $y$ и $z$ оставить без изменений.
Для точки $A(1; 3; 4)$ ее проекция $A_{yz}$ на плоскость $Oyz$ будет иметь координаты $(0; 3; 4)$.
Для точки $B(5; -6; 2)$ ее проекция $B_{yz}$ на плоскость $Oyz$ будет иметь координаты $(0; -6; 2)$.
Ответ: $A_{yz}(0; 3; 4)$ и $B_{yz}(0; -6; 2)$.

21.3. Дан единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ (рис. 21.5). Начало координат находится в точке $D$. Положительные лучи осей координат соответственно $DC$, $DA$ и $DD_1$. Найдите координаты всех вершин куба.

Риc. 21.5

Риc. 21.5

Согласно условию, мы вводим прямоугольную систему координат с началом в вершине $D$. Ось абсцисс ($Ox$) направлена вдоль ребра $DC$, ось ординат ($Oy$) — вдоль ребра $DA$, и ось аппликат ($Oz$) — вдоль ребра $DD_1$. Так как куб единичный, длина каждого ребра равна 1.

DТочка $D$ является началом координат, поэтому ее координаты $(0, 0, 0)$.
Ответ: $D(0, 0, 0)$

AВершина $A$ лежит на оси $Oy$ на расстоянии 1 от начала координат. Ее координаты определяются сдвигом из $D$ на 1 по оси $Oy$.
Ответ: $A(0, 1, 0)$

CВершина $C$ лежит на оси $Ox$ на расстоянии 1 от начала координат. Ее координаты определяются сдвигом из $D$ на 1 по оси $Ox$.
Ответ: $C(1, 0, 0)$

BВершина $B$ лежит в плоскости $Oxy$. Чтобы попасть в точку $B$ из $D$, нужно сместиться на 1 по оси $Ox$ (в точку $C$) и на 1 по оси $Oy$ (из $C$ в $B$, так как $\vec{CB} = \vec{DA}$).
Ответ: $B(1, 1, 0)$

D₁Вершина $D_1$ лежит на оси $Oz$ на расстоянии 1 от начала координат. Ее координаты определяются сдвигом из $D$ на 1 по оси $Oz$.
Ответ: $D_1(0, 0, 1)$

A₁Вершина $A_1$ находится над вершиной $A$. Ее координаты получаются смещением точки $A$ на 1 вверх по оси $Oz$.
Ответ: $A_1(0, 1, 1)$

C₁Вершина $C_1$ находится над вершиной $C$. Ее координаты получаются смещением точки $C$ на 1 вверх по оси $Oz$.
Ответ: $C_1(1, 0, 1)$

B₁Вершина $B_1$ находится над вершиной $B$. Ее координаты получаются смещением точки $B$ на 1 вверх по оси $Oz$.
Ответ: $B_1(1, 1, 1)$

21.4. Найдите координаты середины отрезка:

a)AB, если $A(1; 2; 3)$ и $B(-1; 0; 1)$;

б)CD, если $C(3; 3; 0)$ и $D(3; -1; 2)$.

Для нахождения координат середины отрезка необходимо вычислить среднее арифметическое соответствующих координат его концов. Если концы отрезка имеют координаты $A(x_A; y_A; z_A)$ и $B(x_B; y_B; z_B)$, то координаты его середины $M(x_M; y_M; z_M)$ находятся по формулам:
$x_M = \frac{x_A + x_B}{2}$
$y_M = \frac{y_A + y_B}{2}$
$z_M = \frac{z_A + z_B}{2}$

а) Найдем координаты середины отрезка $AB$, если даны точки $A(1; 2; 3)$ и $B(-1; 0; 1)$.
Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Найдем ее координаты:
$x_M = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0$
$y_M = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_M = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Координаты середины отрезка $AB$: $(0; 1; 2)$.
Ответ: $(0; 1; 2)$.

б) Найдем координаты середины отрезка $CD$, если даны точки $C(3; 3; 0)$ и $D(3; -1; 2)$.
Пусть $N$ — середина отрезка $CD$. Найдем ее координаты:
$x_N = \frac{3 + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$
$y_N = \frac{3 + (-1)}{2} = \frac{2}{2} = 1$
$z_N = \frac{0 + 2}{2} = \frac{2}{2} = 1$
Координаты середины отрезка $CD$: $(3; 1; 1)$.
Ответ: $(3; 1; 1)$.

21.5. Единичный куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ помещен в прямоугольную систему координат так, что началом координат является центр грани $ABCD$ (рис. 21.6), ребра куба параллельны соответствующим осям координат, вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Найдите координаты всех остальных вершин куба.

Рис. 21.6

Для решения задачи сначала определим фактическую длину ребра куба. По условию, начало координат $O(0; 0; 0)$ является центром грани $ABCD$, а вершина $A$ имеет координаты $(-1; 1; 0)$. Грань $ABCD$ — это квадрат, и расстояние от его центра до любой из вершин одинаково. Найдем это расстояние $OA$ по формуле расстояния между двумя точками:

$OA = \sqrt{(-1-0)^2 + (1-0)^2 + (0-0)^2} = \sqrt{1 + 1 + 0} = \sqrt{2}$.

С другой стороны, расстояние от центра квадрата до его вершины выражается через длину ребра $s$ как половина длины диагонали квадрата ($d=s\sqrt{2}$). Таким образом, $OA = \frac{d}{2} = \frac{s\sqrt{2}}{2}$.

Приравняем два выражения для расстояния $OA$: $\frac{s\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$. Из этого уравнения следует, что $s = 2$.

Это означает, что длина ребра куба равна 2. Упоминание "единичный куб" в условии, по-видимому, является неточностью. Все дальнейшие вычисления будем проводить для куба с ребром $s=2$.

Нахождение координат вершин основания ABCD

Грань $ABCD$ находится в плоскости $z=0$, так как z-координата ее центра $O$ и вершины $A$ равна 0. Ребра куба параллельны осям координат. Вершины квадрата $ABCD$ с центром в начале координат и сторонами, параллельными осям, имеют координаты вида $(\pm \frac{s}{2}; \pm \frac{s}{2}; 0)$, что в нашем случае дает $(\pm 1; \pm 1; 0)$.

Нам известны координаты вершины $A(-1; 1; 0)$. Найдем координаты остальных вершин основания:

Вершина $B$ смежна с вершиной $A$, и ребро $AB$ параллельно оси $Ox$. Чтобы перейти от $A$ к $B$, нужно изменить x-координату с $-1$ на $1$, сохраняя y-координату. Таким образом, $B$ имеет координаты $(1; 1; 0)$.

Вершина $D$ смежна с вершиной $A$, и ребро $AD$ параллельно оси $Oy$. Чтобы перейти от $A$ к $D$, нужно изменить y-координату с $1$ на $-1$, сохраняя x-координату. Таким образом, $D$ имеет координаты $(-1; -1; 0)$.

Вершина $C$ диагонально противоположна вершине $A$ относительно центра $O(0;0;0)$. Ее координаты можно получить, изменив знаки координат точки $A$: $C(1; -1; 0)$.

Нахождение координат вершин верхнего основания A₁B₁C₁D₁

Верхняя грань $A_1B_1C_1D_1$ параллельна нижней грани $ABCD$ и смещена вдоль оси $Oz$ на расстояние, равное длине ребра куба, то есть на 2. Чтобы найти координаты вершин верхней грани, нужно к z-координатам соответствующих вершин нижней грани прибавить 2.

$A_1$: $(-1; 1; 0+2) \implies A_1(-1; 1; 2)$

$B_1$: $(1; 1; 0+2) \implies B_1(1; 1; 2)$

$C_1$: $(1; -1; 0+2) \implies C_1(1; -1; 2)$

$D_1$: $(-1; -1; 0+2) \implies D_1(-1; -1; 2)$

Таким образом, мы нашли координаты всех остальных семи вершин куба.

Ответ: $B(1; 1; 0)$, $C(1; -1; 0)$, $D(-1; -1; 0)$, $A_1(-1; 1; 2)$, $B_1(1; 1; 2)$, $C_1(1; -1; 2)$, $D_1(-1; -1; 2)$.

21.6. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 21.7). Вершина $D$ — начало координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этого многогранника.

Рис. 21.7

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$, как указано в условии. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $DC$, ось $Oy$ — вдоль отрезка $DA$, и ось $Oz$ — вдоль отрезка $DD_2$. Все грани многогранника являются многоугольниками с прямыми углами, следовательно, все ребра многогранника параллельны одной из координатных осей.

Найдем координаты каждой вершины последовательно, используя данные из рисунка.

D

Согласно условию, вершина D является началом координат.

Ответ: $D(0; 0; 0)$

A, C, B

Вершина $A$ лежит на оси $Oy$, поэтому ее координаты $(0; y_A; 0)$.

Вершина $C$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $(x_C; 0; 0)$.

Ребро $AB$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 2. Следовательно, координаты $A$ и $B$ отличаются только по оси $Ox$, и $|x_B - x_A| = 2$. Так как $x_A=0$, то $x_B=2$. Координаты $y$ и $z$ у точек $A$ и $B$ одинаковы. Так как $B$ лежит в плоскости основания $z=0$, то $B(2; y_A; 0)$.

Ребро $BC$ параллельно оси $Oy$, его длина равна 2. Следовательно, координаты $B$ и $C$ отличаются только по оси $Oy$, и $|y_B - y_C| = 2$. Так как $y_C=0$, то $y_B=2$. Координаты $x$ и $z$ у точек $B$ и $C$ одинаковы. Так как $C(x_C; 0; 0)$, то $x_B=x_C$.

Из полученных соотношений имеем:

$y_A = y_B = 2$.

$x_C = x_B = 2$.

Таким образом, получаем координаты вершин $A$, $C$ и $B$.

Ответ: $A(0; 2; 0)$, $C(2; 0; 0)$, $B(2; 2; 0)$

A₂, D₂

Вершина $D_2$ лежит на оси $Oz$, ее координаты $(0; 0; z_{D2})$.

Ребро $A_2A$ параллельно оси $Oz$, его длина равна 2. Так как $A(0; 2; 0)$, то $A_2$ имеет те же координаты $x$ и $y$, а координата $z$ равна $0+2=2$. Получаем $A_2(0; 2; 2)$.

Ребро $A_2D_2$ параллельно оси $Oy$, его длина равна 2. Сравним координаты $A_2(0; 2; 2)$ и $D_2(0; 0; z_{D2})$. Расстояние по оси $y$ равно $|2-0|=2$, что соответствует длине ребра. Координаты $x$ и $z$ должны быть одинаковы, откуда $z_{D2}=2$.

Ответ: $A_2(0; 2; 2)$, $D_2(0; 0; 2)$

C₁, B₁

Ребро $CC_1$ параллельно оси $Oz$, его длина равна 1. Так как $C(2; 0; 0)$, то $C_1(2; 0; 1)$.

Ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$ и оси $Oy$. Следовательно, $B_1$ и $C_1$ имеют одинаковые координаты $x$ и $z$. Координата $y$ точки $B_1$ такая же, как у точки $B$, то есть $y=2$. Таким образом, $B_1(2; 2; 1)$.

Ответ: $C_1(2; 0; 1)$, $B_1(2; 2; 1)$

D₁, C₂, B₂

Ребро $C_1D_1$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 1. Так как $C_1(2; 0; 1)$, а $D_1$ находится "левее", то координата $x$ точки $D_1$ равна $2-1=1$. Остальные координаты совпадают. Получаем $D_1(1; 0; 1)$.

Ребро $D_2C_2$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 1. Так как $D_2(0; 0; 2)$, то координата $x$ точки $C_2$ равна $0+1=1$. Остальные координаты совпадают. Получаем $C_2(1; 0; 2)$.

Вершина $B_2$ является общей вершиной для граней, содержащих ребра $A_2B_2$ и $C_2B_2$. Так как $A_2B_2$ параллельно $D_2C_2$ (оси $Ox$), а $C_2B_2$ параллельно $D_2A_2$ (оси $Oy$), то координаты $B_2$ можно найти, сместившись из $A_2$ по оси $Ox$ на расстояние, равное длине $D_2C_2$ (то есть 1), либо из $C_2$ по оси $Oy$ на расстояние, равное длине $D_2A_2$ (то есть 2). Используя $A_2(0; 2; 2)$, получаем $B_2(0+1; 2; 2) = (1; 2; 2)$.

Ответ: $D_1(1; 0; 1)$, $C_2(1; 0; 2)$, $B_2(1; 2; 2)$

A₁

Вершина $A_1$ в данной фигуре является внутренней вершиной, находящейся на стыке двух прямоугольных параллелепипедов, из которых состоит многогранник. Она расположена над точкой с координатами $(1; 2; 0)$ на высоте $z=1$. Таким образом, ее координаты $(1; 2; 1)$.

Ответ: $A_1(1; 2; 1)$

21.7. В правильной треугольной призме $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1, точки $D$ и $D_1$ — середины ребер соответственно $AC$ и $A_1C_1$

(рис. 21.8). Точка $D$ — начало координат, отрезки $DB$, $DA$, $DD_1$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этой призмы.

Рис. 21.8

По условию, дана правильная треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$, все ребра которой равны 1. Это означает, что в основаниях лежат равносторонние треугольники $ABC$ и $A_1B_1C_1$ со стороной 1, а высота призмы равна 1. Точка $D$ — середина ребра $AC$. Система координат задана следующим образом: начало в точке $D(0,0,0)$, ось $Ox$ сонаправлена с вектором $\vec{DB}$, ось $Oy$ — с вектором $\vec{DA}$, а ось $Oz$ — с вектором $\vec{DD_1}$.

Найдем координаты вершин призмы.

A
Точка $A$ лежит на оси $Oy$. Расстояние $DA$ равно половине длины ребра $AC$, так как $D$ — середина $AC$. $DA = AC / 2 = 1/2$. Поскольку ось $Oy$ сонаправлена с $\vec{DA}$, точка $A$ имеет положительную y-координату.
Ответ: $A(0; 1/2; 0)$.

C
Точка $D(0,0,0)$ является серединой отрезка $AC$. Зная координаты точек $A(0; 1/2; 0)$ и $D$, находим координаты $C$ из условия, что $\vec{DC} = -\vec{DA}$. Вектор $\vec{DA}$ имеет координаты $(0; 1/2; 0)$, следовательно, $\vec{DC}$ имеет координаты $(0; -1/2; 0)$. Координаты точки $C$ совпадают с координатами ее радиус-вектора $\vec{DC}$.
Ответ: $C(0; -1/2; 0)$.

B
Точка $B$ лежит на оси $Ox$. Расстояние $DB$ является высотой равностороннего треугольника $ABC$ со стороной 1. Длину высоты найдем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника $BDC$: $DB = \sqrt{BC^2 - DC^2} = \sqrt{1^2 - (1/2)^2} = \sqrt{1 - 1/4} = \sqrt{3/4} = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Поскольку ось $Ox$ сонаправлена с $\vec{DB}$, точка $B$ имеет положительную x-координату.
Ответ: $B(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0)$.

Вершины верхнего основания $A_1, B_1, C_1$ получаются из соответствующих вершин нижнего основания $A, B, C$ параллельным переносом на вектор $\vec{v} = \vec{DD_1}$. Призма прямая, ее высота равна длине бокового ребра, то есть 1. Вектор $\vec{DD_1}$ сонаправлен с осью $Oz$, поэтому вектор переноса $\vec{v} = (0; 0; 1)$.

A₁
Координаты $A_1$ равны сумме координат точки $A$ и вектора $\vec{v}$: $A_1 = (0; 1/2; 0) + (0; 0; 1) = (0; 1/2; 1)$.
Ответ: $A_1(0; 1/2; 1)$.

B₁
Координаты $B_1$ равны сумме координат точки $B$ и вектора $\vec{v}$: $B_1 = (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 0) + (0; 0; 1) = (\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 1)$.
Ответ: $B_1(\frac{\sqrt{3}}{2}; 0; 1)$.

C₁
Координаты $C_1$ равны сумме координат точки $C$ и вектора $\vec{v}$: $C_1 = (0; -1/2; 0) + (0; 0; 1) = (0; -1/2; 1)$.
Ответ: $C_1(0; -1/2; 1)$.