Номер 21.6, страница 107 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

Параграф 21. Прямоугольная система координат в пространстве. Глава III. Прямоугольная система координат и векторы в пространстве - номер 21.6, страница 107.

Условия.

21.6. Гранями многогранника являются многоугольники с прямыми углами (рис. 21.7). Вершина $D$ — начало координат, отрезки $DC$, $DA$, $DD_2$ лежат на осях координат $Ox$, $Oy$ и $Oz$ соответственно. Найдите координаты вершин этого многогранника.

Рис. 21.7

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи введем прямоугольную систему координат с началом в точке $D$, как указано в условии. Ось $Ox$ направим вдоль отрезка $DC$, ось $Oy$ — вдоль отрезка $DA$, и ось $Oz$ — вдоль отрезка $DD_2$. Все грани многогранника являются многоугольниками с прямыми углами, следовательно, все ребра многогранника параллельны одной из координатных осей.

Найдем координаты каждой вершины последовательно, используя данные из рисунка.

D

Согласно условию, вершина D является началом координат.

Ответ: $D(0; 0; 0)$

A, C, B

Вершина $A$ лежит на оси $Oy$, поэтому ее координаты $(0; y_A; 0)$.

Вершина $C$ лежит на оси $Ox$, поэтому ее координаты $(x_C; 0; 0)$.

Ребро $AB$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 2. Следовательно, координаты $A$ и $B$ отличаются только по оси $Ox$, и $|x_B - x_A| = 2$. Так как $x_A=0$, то $x_B=2$. Координаты $y$ и $z$ у точек $A$ и $B$ одинаковы. Так как $B$ лежит в плоскости основания $z=0$, то $B(2; y_A; 0)$.

Ребро $BC$ параллельно оси $Oy$, его длина равна 2. Следовательно, координаты $B$ и $C$ отличаются только по оси $Oy$, и $|y_B - y_C| = 2$. Так как $y_C=0$, то $y_B=2$. Координаты $x$ и $z$ у точек $B$ и $C$ одинаковы. Так как $C(x_C; 0; 0)$, то $x_B=x_C$.

Из полученных соотношений имеем:

$y_A = y_B = 2$.

$x_C = x_B = 2$.

Таким образом, получаем координаты вершин $A$, $C$ и $B$.

Ответ: $A(0; 2; 0)$, $C(2; 0; 0)$, $B(2; 2; 0)$

A₂, D₂

Вершина $D_2$ лежит на оси $Oz$, ее координаты $(0; 0; z_{D2})$.

Ребро $A_2A$ параллельно оси $Oz$, его длина равна 2. Так как $A(0; 2; 0)$, то $A_2$ имеет те же координаты $x$ и $y$, а координата $z$ равна $0+2=2$. Получаем $A_2(0; 2; 2)$.

Ребро $A_2D_2$ параллельно оси $Oy$, его длина равна 2. Сравним координаты $A_2(0; 2; 2)$ и $D_2(0; 0; z_{D2})$. Расстояние по оси $y$ равно $|2-0|=2$, что соответствует длине ребра. Координаты $x$ и $z$ должны быть одинаковы, откуда $z_{D2}=2$.

Ответ: $A_2(0; 2; 2)$, $D_2(0; 0; 2)$

C₁, B₁

Ребро $CC_1$ параллельно оси $Oz$, его длина равна 1. Так как $C(2; 0; 0)$, то $C_1(2; 0; 1)$.

Ребро $B_1C_1$ параллельно ребру $BC$ и оси $Oy$. Следовательно, $B_1$ и $C_1$ имеют одинаковые координаты $x$ и $z$. Координата $y$ точки $B_1$ такая же, как у точки $B$, то есть $y=2$. Таким образом, $B_1(2; 2; 1)$.

Ответ: $C_1(2; 0; 1)$, $B_1(2; 2; 1)$

D₁, C₂, B₂

Ребро $C_1D_1$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 1. Так как $C_1(2; 0; 1)$, а $D_1$ находится "левее", то координата $x$ точки $D_1$ равна $2-1=1$. Остальные координаты совпадают. Получаем $D_1(1; 0; 1)$.

Ребро $D_2C_2$ параллельно оси $Ox$, его длина равна 1. Так как $D_2(0; 0; 2)$, то координата $x$ точки $C_2$ равна $0+1=1$. Остальные координаты совпадают. Получаем $C_2(1; 0; 2)$.

Вершина $B_2$ является общей вершиной для граней, содержащих ребра $A_2B_2$ и $C_2B_2$. Так как $A_2B_2$ параллельно $D_2C_2$ (оси $Ox$), а $C_2B_2$ параллельно $D_2A_2$ (оси $Oy$), то координаты $B_2$ можно найти, сместившись из $A_2$ по оси $Ox$ на расстояние, равное длине $D_2C_2$ (то есть 1), либо из $C_2$ по оси $Oy$ на расстояние, равное длине $D_2A_2$ (то есть 2). Используя $A_2(0; 2; 2)$, получаем $B_2(0+1; 2; 2) = (1; 2; 2)$.

Ответ: $D_1(1; 0; 1)$, $C_2(1; 0; 2)$, $B_2(1; 2; 2)$

A₁

Вершина $A_1$ в данной фигуре является внутренней вершиной, находящейся на стыке двух прямоугольных параллелепипедов, из которых состоит многогранник. Она расположена над точкой с координатами $(1; 2; 0)$ на высоте $z=1$. Таким образом, ее координаты $(1; 2; 1)$.

Ответ: $A_1(1; 2; 1)$