Задания, страница 105 - гдз по геометрии 10 класс учебник Смирнов, Туяков

$(2 \ 2 \ 2)$

Самостоятельно сделайте рисунок к этой теореме.

Поскольку точная формулировка теоремы в вопросе не приведена, а на изображении угадывается математическое выражение с квадратами, вероятнее всего, речь идёт о теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Формулировка теоремы: Квадрат диагонали прямоугольного параллелепипеда равен сумме квадратов трёх его измерений (длины, ширины и высоты).

Для создания рисунка к этой теореме, необходимо выполнить следующие шаги:

1. Изображение параллелепипеда
Начертите прямоугольный параллелепипед. Для придания объемности изобразите видимые рёбра сплошными линиями, а невидимые (задние и нижние) — пунктирными. Обозначьте вершины: нижнее основание, например, $ABCD$, и верхнее — $A_1B_1C_1D_1$, так, чтобы вершина $A_1$ была над $A$, $B_1$ над $B$ и так далее.

2. Обозначение измерений
Выберите три ребра, выходящие из одной вершины (например, из $A$), и обозначьте их длины как измерения параллелепипеда:
- Длина $a$: ребро $AB$.
- Ширина $b$: ребро $AD$.
- Высота $c$: ребро $AA_1$.

3. Построение ключевых диагоналей
- Проведите диагональ основания $AC$. Она соединяет вершины $A$ и $C$ и лежит в плоскости основания $ABCD$.
- Проведите главную (пространственную) диагональ параллелепипеда $AC_1$. Она соединяет противоположные вершины $A$ и $C_1$. Обозначьте её длину как $d$.

4. Визуализация доказательства на рисунке
На полученном рисунке можно выделить два прямоугольных треугольника, которые лежат в основе доказательства теоремы.
- Первый треугольник — $\triangle ABC$. Он является прямоугольным с прямым углом $\angle B$, так как основание $ABCD$ — это прямоугольник. По теореме Пифагора, квадрат его гипотенузы $AC$ равен: $AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + b^2$.
- Второй треугольник — $\triangle ACC_1$. Он является прямоугольным с прямым углом $\angle C$, так как боковое ребро $CC_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD$, а значит, и прямой $AC$, лежащей в этой плоскости. По теореме Пифагора, квадрат его гипотенузы $AC_1$ (которая является диагональю параллелепипеда $d$) равен: $AC_1^2 = AC^2 + CC_1^2$.

Соединяя эти два результата, мы подставляем выражение для $AC^2$ из первого шага во второе уравнение:
$d^2 = (a^2 + b^2) + c^2$
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
Эта формула и является математическим выражением теоремы. Рисунок наглядно показывает, как она выводится.

Ответ: Рисунок к теореме о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда должен содержать изображение самого параллелепипеда (например, $ABCDA_1B_1C_1D_1$) с обозначенными измерениями (длина $a$, ширина $b$, высота $c$). Ключевыми элементами рисунка являются диагональ основания (например, $AC$) и главная диагональ параллелепипеда ($AC_1$), которые наглядно формируют прямоугольные треугольники ($\triangle ABC$ и $\triangle ACC_1$), лежащие в основе доказательства теоремы: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$.